Stellenwertsysteme (Stunden 1 – 4)

Bereits in Klasse 5/6 lernen die Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht neben dem Dezimalsystem ein weiteres Zahlensystem kennen. Spätestens im Rahmen des Aufbaukurses Informatik in Klasse 7 erfahren sie das Prinzip des Binärsystems und können natürliche Zahlen zwischen 0 und mindestens 255 in Bitfolgen darstellen und umgekehrt. Diese Kenntnisse werden nun wiederholt, weitergeführt und vertieft. Dazu vergleichen die Schülerinnen und Schüler zunächst das Binärsystem mit dem dezimalen Stellenwertsystem und überführen die beiden Darstellungen wechselseitig. Anhand der Addition und einer weiteren Grundrechenart – hier bietet die Wahl zwischen Subtraktion, Division und Multiplikation eine Gelegenheit zur Binnendifferenzierung – erweitern sie ihre Kenntnisse über die Strukturen der gängigen Rechenverfahren und deren Übertragbarkeit auf andere Stellenwertsysteme. Der abschließende Wechsel zwischen dem Binärsystem und dem Hexadezimalsystem eignet sich gut, um weitere Verknüpfungen zum Bereich der informationstechnischen Grundlagen herzustellen (z.B. Bits und Bytes, ASCII, diskrete Farbmischungen).

Grundlegender Aufbau (Stunden 1 – 2)

Im Bildungsplan zum Aufbaukurs Informatik wird das Prinzip des Binärsystems und die wechselseitige Umwandlung von Binärzahlen und natürlichen Zahlen zwischen 0 und 255 bereits thematisiert. Demzufolge werden die Schülerinnen und Schüler mit gewissen Vorkenntnissen aus diesem Bereich vertraut sein. Um dieses Wissen zu aktivieren, beginnt das erste AB Binärzahlen – Grundlagen mit einer offenen Fragestellung und darauf abgestuften Hilfekärtchen, auf die dann wiederholende Übungen folgen (Aufgabe 1 - 3). Nach dieser Wiederholung widmet sich Aufgabe 4 dem vergleichenden Verständnis von Stellenwertsystemen. Dadurch wird das Wissen über das Prinzip des Binärsystems mit dem dezimalen Stellenwertsystem verknüpft, sodass nicht nur der grundsätzliche Aufbau von Stellenwertsystemen im Allgemeinen, sondern insbesondere auch die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den einzelnen Stellenwertsystemen entdeckt und verbalisiert werden. Mithilfe des AB Binärzahlen – Übungen (01_mgk_binär-Einstieg) werden diese alten und neuen Erkenntnisse auf verschiedenen Niveaustufen eingeübt.

Das dritte und letzte AB Binärzahlen – Knobelspaß, ist ein optional einsetzbares AB. Hier wird nochmals die Gelegenheit gegeben, binnendifferenzierend auf allen Niveaustufen zu üben. Es bietet jedoch mit Sicherheit ein hohes Maß an Motivation, sodass der Einsatz in der gesamten Klasse angedacht werden kann – dies muss der Fachlehrer unter Abwägen des Zeitbedarfs individuell entscheiden. Für den Fall, dass der Zeitbedarf gegen einen Einsatz in der Klasse spricht, kann es auch zur Binnendifferenzierung für einzelne leistungsstarke Schülerinnen und Schüler dienen, die im „Pflichtbereich“ eventuell deutlich schneller als ihre Mitschülerinnen und Mitschüler sind.

Schriftliche Rechenverfahren (Stunde 3)

Auch wenn keine explizite Erwähnung des mathematischen Bereichs der Numerik im Bildungsplan IMP zu finden ist, bietet er dennoch immer wieder die Möglichkeit, Einblicke in die Grundlagen der Numerik zu erfahren. Die Stunde zu den schriftlichen Rechenverfahren kann ebenso motiviert werden. Die Schülerinnen und Schüler haben nun das Binärsystem als Speichermöglichkeit für Computer kennengelernt. Ob und wie die weitere Verarbeitung bei Berechnungen funktioniert, ist jedoch noch unbekannt. Die Vorgabe des Bildungsplans, dass die Schülerinnen und Schüler neben der Addition noch eine weitere Grundrechenart schriftlich durchführen können, ist als Aufforderung zur Binnendifferenzierung zu sehen, da nicht alle Schülerinnen und Schüler dasselbe Rechenverfahren lernen müssen. Dieser Vorgabe kommt das AB Binärzahlen – Rechenverfahren unter der Lupe nach. Zunächst widmen sich alle Schülerinnen und Schüler innerhalb der Aufgabe 1 der Addition von Binärzahlen. Da danach jede Schülerin und jeder Schüler noch ein weiteres Verfahren können muss, ist Aufgabe 2 an sich als verpflichtend zu sehen. Die Setzung des Symbols * dient hier lediglich zur Bezeichnung der Niveau-Abstufungen. Da die Schülerinnen und Schüler sich zunächst nur ein weiteres Verfahren auswählen müssen, ist die Division, die indirekt die Subtraktion einführt als ebenso schwierig anzusehen, wie die Multiplikation, bei der ein aus dem Zehnersystem unbekanntes Übertragen über mehrere Stellen erforderlich sein kann.

Das Hexadezimalsystem (Stunde 4)

Die Zahldarstellungen im Binärsystem erreichen sehr schnell eine recht unübersichtliche Länge. Deshalb hat sich der Einsatz des Hexadezimalsystems (16er-System) in einigen Bereichen der Datenverarbeitung durchgesetzt. So basieren der ASCII und die Mischung von Farben am Monitor auf natürlichen Zahlen im Bereich von 0 bis 255 – das sind Zahlen, die hexadezimal zweistellig darstellbar sind. Die Stellen im Hexadezimalsystem bestehen von rechts nach links aus Vielfachen von der Zahlen 16⁰ = 1, 16¹ = 16, 16² = 256, 16³ = 4096, usw. Als jeweiligen Vielfachen einer Stelle werden zunächst weiterhin die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Um beispielsweise 10, 11, 12, 13, 14 oder 15 Einer anzeigen zu können, benötigt man jedoch noch sechs weitere Ziffern. Diese werden der numerisch aufsteigenden Reihenfolge nach A, B, C, D, E und F benannt. Die Zahl B9₁₆ bedeutet somit (von rechts nach links) 9 Einer + 11 Sechzehner, also 185.

Die Motivation für dieses weitere Stellenwertsystem kann im Unterricht optional über das AB Hexadezimalzahlen - Hintergrundwissen eingeführt werden, oder der Lehrer stellt dies in einem eigenständigen Lehrervortrag vor. Insbesondere Farbmischprogramme eignen sich als Präsentationsbasis, zahlreiche davon sind als Freeware im Internet verfügbar, darunter einige, die direkt aus dem Browser heraus bedienbar sind. Ein Beispiel dafür wird direkt auf dem AB angegeben. Alternativ dazu und sehr empfehlenswert ist die App Farbcodierung von Monika Eisenmann. Hier können die Schülerinnen und Schüler ihre Farbcodeentschlüsselung einstellen und gleich selbst anhand der App überprüfen.

Die tatsächliche Einführung des Hexadezimalsystems ist dann auf dem AB Hexadezimalzahlen ein „neues“ Stellenwertsystem zu finden. Dieses AB gliedert sich in einen erklärenden Text und die zugehörigen Anwendungsaufgaben. Da der Bildungsplan sich auf die wechselseitige Umwandlung zwischen Binär- und Hexadezimalzahlen beschränkt, widmen sich die Aufgaben 1 – 3 auch nur genau dieser. Erst in den optionalen „*“-Aufgaben 4 und 5 ist an die Erklärung des Prinzips bzw. eine weitere Umformung in das Dezimalsystem gedacht.

Anmerkung: Auf dem AB wird das Hexadezimalsystem auch über die Speichergrößen motiviert. Die Größenangaben hierfür werden in der Literatur uneinheitlich verwendet. Beispielsweise wird 1 kB (1 Kilobyte) teilweise als 1000 Byte, aber auch als 1024 (=2¹⁰) genannt – letzteres trägt aber auch den Namen KiB (1 Kibibyte). Mehr darüber findet man beispielsweise in Wikipedia unter dem Stichwort „Byte“.

Hinweis:

In der Einheit „Informationsgesellschaft und Datensicherheit“ des Fachbereiches Informatik befindet sich im Bildungsplan die folgende Kompetenz: „Die Schülerinnen und Schüler können erläutern, dass moderne Verschlüsselungsverfahren auf elementaren Verschlüsselungs­verfahren basieren [...]“. In den zugehörigen Materialien von Frau Miriam Klein wird dabei das AES-Verfahren erklärt und mit CrypTool1 veranschaulicht. Da in der CrypTool1-Visualisierung Hexadezimalzahlen verwendet werden, ist es von Vorteil, wenn in IMP-Mathematik bereits die Hexadezimalzahlen behandelt wurden (3.1.2.1 Mathematische Grundlagen der Kryptologie), bevor die Informatik dieses Thema behandelt.

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