Der größte gemeinsame Teiler – ggT

Die Portionen in der Agentenkantine sind 90 oder 126 Fleischbällchen. Vergleicht man die Teilermengen der beiden Zahlen, so findet man einige Teiler, die in beiden Teilermengen vorkommen, die sogenannten gemeinsamen Teiler (im Folgenden in Fettdruck dargestellt).

Die 18 ist darunter der größte gemeinsame Teiler, der ggT(90; 126). Wenn die Packungsgröße des Koches 18 beträgt, so kann er für die 90-er Portion fünf ganze Tüten verwenden und für die 126-er Portion benötigt er sieben Tüten. Das ist die bestmögliche Variante, wenn er keine einzelnen Bällchen abzählen möchte (also dass nur ganzzahlig viele Tüten für beide Portionsgrößen verwendet werden) und er dabei möglichst wenige Tüten insgesamt benötigt.

Der größte gemeinsame Teiler darf dabei auch die kleinere der beiden Zahlen sein, so ist ggT(12; 24) = 12. Für den Fall, dass die Zahlen außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, der ggT also 1 ist, nennt man sie teilerfremd. So sind zum Beispiel 6 und 13 teilerfremd, da ggT(6; 13) = 1.

Aufträge

1. Bestimme die folgenden größten gemeinsamen Teiler:

   a.) ggT(12; 18)

   b.) ggT(15; 45)

   c.) ggT(64; 96)

   d.) ggT(65; 91)

2. Die Primfaktorzerlegungen mehrerer Zahlen lassen sich geschickt vergleichen, wenn man gleiche Primfaktoren untereinander schreibt, z.B. für die Zahlen 300 und 630 so:

   

   a.) Führe dies für die Zahlen aus Aufgabe 1 durch. Schreibe dazu für jede Teilaufgabe die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen und des ggT in drei Zeilen untereinander. Überlege dir eine Regel, wie man aus den Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen auf deren ggT kommen kann, und schreibe sie auf.

   b.) Überprüfe deine Regel an weiteren Zahlenpaaren und deren ggT.

   c.) Bestimme den ggT(9000; 41 580) mit

   9000 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 und

   41580 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

3. Der rechteckige Balkon des Agenten-Hauptquartiers soll einen neuen Bodenbelag aus möglichst großen, quadratischen Fliesen bekommen. Dabei soll keine Fliese zerteilt werden. Wie groß sollten die Fliesen sein, wenn der Balkon 6,75m breit und 3,60m tief ist?

4. * „Der ggT kann beim Kürzen von Brüchen sehr hilfreich sein.“

   Wie ist diese Aussage gemeint? Führe zunächst einige Versuche an kürzbaren Brüchen durch. Überlege dabei: Wie kann der ggT von Zähler und Nenner geschickt eingesetzt werden? Wie kann / würde man ohne die Kenntnis dieses ggT vorgehen? Formuliere dann eine Vorgehensweise zum Kürzen von Brüchen, in der der ggT eingesetzt wird. Vergleiche dann die beiden Vorgehensweisen (Kürzen mit / ohne Ermittlung des ggT).

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