Team Mü

Quelle: ZPG IMP

Agent Mü hat 30 Schlüsselcodes, die er verstecken möchte. Dazu könnte er sie natürlich zusammen an einem einzigen Ort verstecken. Er überlegt sich aber auch, die Codes auf mehrere Verstecke zu verteilen. Dabei möchte er darauf achten, dass sich in jedem seiner Verstecke genau gleich viele Codes befinden.

Aufgabe 1:

Wie viele verschiedene Verstecke kann er unter dieser Voraussetzung verwenden? Schreibt alle Möglichkeiten auf.

Teilermengen

Wenn man die Zahl 1 (also 1 Versteck) zu den Lösungen von Aufgabe 1 dazunimmt, dann hat man die sogenannte Teilermenge T₃₀ der Zahl 30 ermittelt. Teilermengen schreibt man normalerweise in geschweifte Klammern und trennt die einzelnen Teiler jeweils durch einen Strichpunkt.

Beispiel: T₁₂ = { 1; 2; 3; 4; 6; 12} und T₁₅ = {1; 3; 5; 15}

Aufgabe 2:

Ermittelt die Teilermengen T₁₈ , T₆₀ und T₁₀₅ . Überlegt euch, wie ihr dies geschickt systematisch¹ durchführen könnt und schreibt euer System in vollständigen Sätzen auf.

¹ das heißt: mit möglichst wenig Aufwand und so, dass kein Teiler übersehen wird.

Primfaktorzerlegungen

Quelle: ZPG IMP

Von verschiedenen Spielwaren-Herstellern gibt es Bauklötzchenspiele. Bei diesen Spielen ist das Grundprinzip immer gleich: Es gibt eine gewisse Anzahl an Grundbausteinen (die jeweils mehrfach vorliegen). Diese stellen zunächst eine Vielfalt an Grundformen bereit, beispielsweise Quader, Zylinder oder auch Halbzylinder. Aus der Verwendung vieler solcher Grundbausteine – die einen mehrfach, die anderen einfach und manche vielleicht auch mal gar nicht – lassen sich nun die fantasievollsten Gebäude erschaffen.

Sehr ähnlich sind unsere natürlichen Zahlen aufgebaut: Hier sind die Primzahlen die kleinen Bausteine, aus denen man sich alle anderen Zahlen „basteln“ kann. Genauer gesagt gilt der folgende Satz

Glaubst Du nicht? Hier ein paar Beispiele: Für die Zahl 36 benötigt man zwei Mal den „Baustein“ 2 und zwei Mal den Baustein „3“: 2· 2 · 3 · = 36 . Oder die Zahl 165 erhält man aus den Primzahlen 3, 5 und 11: 3 · 5 · 11 = 165 . Einfach ist die Zahl 32. Man nimmt fünf Mal die Primzahl 2, denn 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 . Und was ist mit der 17? Sie ist eine Primzahl, also ein Grundbaustein und kann nicht weiter zerlegt werden. Das „Produkt“ ist dann „einfach nur“ 17.

Die Darstellung einer Zahl durch ein Produkt aus Primzahlen ist sehr wichtig, sie bekommt deshalb den Namen Primfaktorzerlegung.

Aufgabe 3:

1. Ermittelt die Primfaktorzerlegungen für die Zahlen 18, 60 und 100.

   Tipp: Die Teilbarkeitsregeln können hilfreich sein, um schneller voranzukommen.

2. Mithilfe der Primfaktorzerlegung einer Zahl kann man durch geschicktes Vorgehen alle Teiler der Teilermenge erhalten. Überlegt euch dieses „geschickte Vorgehen“ anhand der Lösungen aus Aufgabe 2 und 3a zu den Zahlen 18 und 60 und schreibt es auf. Führt es dann auch für die Zahl 100 durch.

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