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Prim­zah­len, Tei­ler und Viel­fa­che (Stun­den 5 – 13)

Die­ser zwei­te, grö­ße­re Teil der Ein­heit Ma­the­ma­ti­sche Grund­la­gen der Kryp­to­lo­gie wid­met sich der Ver­tie­fung des Wis­sens über Be­rei­che der ele­men­ta­ren Zah­len­theo­rie, zum Bei­spiel zu Prim­zah­len, Teil­bar­kei­ten, Tei­lern, Tei­ler­men­gen und Viel­fa­chen. Über die Kennt­nis­se aus dem Ma­the­ma­tik­un­ter­richt der Klas­sen 5 bis 7 hin­aus ler­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wei­te­re grund­le­gen­de Zu­sam­men­hän­ge, Al­go­rith­men und Re­geln ken­nen, die so­wohl einen in sich schlüs­si­gen Be­reich der Zah­len­theo­rie ab­gren­zen und dar­über hin­aus in den fol­gen­den Jah­ren im Zuge der Kon­gru­enz­rech­nung noch be­deut­sam sein wer­den. Wie schon im ers­ten Teil die­ser Ein­heit liegt zu­nächst die Schwie­rig­keit darin, das Wis­sen der Schü­le­rin­nen und Schü­ler aus den Vor­jah­ren so zu ak­ti­vie­ren, dass die be­nö­tig­te Aus­gangs­ba­sis bei allen (wie­der) vor­han­den ist und sich die Schü­le­rin­nen und Schü­ler, bei denen das Wis­sen nicht in Ver­ges­sen­heit ge­ra­ten ist, nicht „lang­wei­len“. Vom ers­ten AB an spielt des­halb die Mög­lich­keit zur Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung wie­der eine große Rolle im vor­lie­gen­den Un­ter­richts­gang.

Das Sieb des Era­tosthe­nes (Stun­de 5)

Auch wenn Prim­zah­len be­reits Thema im Ma­the­ma­tik­un­ter­richt der Klas­sen 5 / 6 waren, so wird die De­fi­ni­ti­on si­cher­lich nicht mehr im Be­wusst­sein aller Schü­le­rin­nen und Schü­ler sein. Eben­so ist zu er­war­ten, dass die Ant­wort auf die häu­fig von Schü­lern ge­stell­te Frage, ob die Zahl 1 als Prim­zahl zu wer­ten ist oder nicht, zu­nächst nicht von allen ge­ge­ben wer­den kann. Die­ser Vor­aus­set­zung fol­gend wird auf dem AB Prim­zah­len – Das Sieb des Era­tosthe­nes eine De­fi­ni­ti­on für Prim­zah­len vor­an­ge­stellt und dann die Be­grün­dung, dass 1 keine Prim­zahl ist, ein­ge­for­dert. „Ganz ne­ben­bei“ ist diese Auf­ga­be ein gutes Bei­spiel dafür, dass pro­zess­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen wie bei­spiels­wei­se das Ar­gu­men­tie­ren und das Kom­mu­ni­zie­ren von Be­ginn an (im Sinne von „auf re­la­tiv nied­ri­gem Ni­veau“) ein­ge­for­dert wer­den kön­nen – und dem­entspre­chend auch soll­ten.

Auf­ga­be 2 ist vom Fach­leh­rer in­di­vi­du­ell zu be­den­ken: Es kann durch­aus sein, dass die Schü­le­rin­nen und Schü­ler das Sieb des Era­tosthe­nes1 be­reits ken­nen. Je nach­dem kann es also sinn­voll sein, auf Auf­ga­be 2 zu ver­zich­ten und das Sieb des Era­tosthe­nes di­rekt mit der zur In­for­ma­tik über­grei­fen­den Auf­ga­be 5 zu wie­der­ho­len (auch als Haus­auf­ga­be denk­bar).

In Auf­ga­be 4 kön­nen dann ver­schie­de­ne As­pek­te ent­deckt wer­den. Ei­ner­seits enden alle so ent­stan­de­nen Zah­len auf die Zif­fer 1, was an den Fak­to­ren 2 und 5 vor der Ad­di­ti­on von 1 liegt. Diese Er­kennt­nis spielt in spä­te­ren Auf­ga­ben­stel­lun­gen eine er­neu­te Rolle. Au­ßer­dem sind alle so er­zeug­ten Zah­len Prim­zah­len. Dies kann ent­we­der zu einem spä­te­ren Zeit­punkt zum Be­weis aus­ge­baut wer­den, dass es un­end­lich viele Prim­zah­len geben muss, oder di­rekt an die­ser Stel­le als noch zu er­gän­zen­de Zu­satz­auf­ga­be für leis­tungs­star­ke Schü­le­rin­nen und Schü­ler ein­ge­bun­den wer­den.

Auf­ga­be 3 dient ei­ner­seits dem Ken­nen­ler­nen der Mer­sen­ne-Zah­len – so nennt man Zah­len, die mit­hil­fe des Terms 2n-1 er­zeugt wer­den kön­nen –, den ak­tu­ell be­deu­tends­ten Zah­len für die Suche nach gro­ßen Prim­zah­len. Gleich­zei­tig wird hier er­neut der Be­reich des Ar­gu­men­tie­rens und Be­wei­sens ein­ge­for­dert, da die Schü­le­rin­nen und Schü­ler durch die Auf­ga­be auf die Me­tho­de des Wi­der­le­gens einer Be­haup­tung durch ein Ge­gen­bei­spiel ge­führt wer­den (ohne diese hier beim Namen zu nen­nen).

1 Das Sieb des Era­tosthe­nes ist ein Ver­fah­ren, um alle Prim­zah­len zwi­schen 2 und einer na­tür­li­chen Zahl n zu be­stim­men. Dazu wer­den diese Zah­len zu­nächst no­tiert und dann von der Prim­zahl 2 be­gin­nend zu­nächst alle Viel­fa­chen der 2 ge­stri­chen. Die nächst­grö­ße­re, nicht­ge­stri­che­ne Zahl wird so­dann als Prim­zahl iden­ti­fi­ziert (die 3) und auch deren Viel­fa­che ge­stri­chen. So ver­fährt man fort, bis alle Zah­len ent­we­der als Prim­zahl iden­ti­fi­ziert, oder ge­stri­chen sind.

Teil­bar­keits­re­geln (Stun­den 6 – 8)

Das Ziel die­ser drei Un­ter­richts­stun­den ist ein über die reine An­wen­dung von Teil­bar­keits­re­geln (wie im Bil­dungs­plan Ma­the­ma­tik der Klas­sen­stu­fe 6 – dort ist „nur“ das An­wen­den kön­nen der Teil­bar­keits­re­geln 2, 3, 5, 6, 9 und 10 ein­ge­for­dert) hin­aus­ge­hen­des Ver­ständ­nis für den in­ne­ren (mul­ti­pli­ka­ti­ven) Auf­bau der na­tür­li­chen Zah­len. Auch hier steht na­tür­lich zu­nächst das Wie­der­auf­grei­fen von be­reits Ge­lern­tem an ers­ter Stel­le, um dann die­ses Wis­sen suk­zes­si­ve zu er­wei­tern und ver­tie­fen. Bei­spiels­wei­se wer­den ei­ner­seits noch wei­te­re Re­geln ent­deckt und an­de­rer­seits die vor­han­de­nen Re­geln be­grün­det, wo­durch eine Ver­tie­fung vom rei­nen An­wen­den zum Ver­ständ­nis der „Funk­ti­ons­wei­se“ der Re­geln statt­fin­det.

Am Be­ginn der drei Stun­den steht (nach der De­fi­ni­ti­on von Teil­bar­keit) mit Auf­ga­be 1 auf dem AB Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln: Wie­der­ho­lung eine Think-Pair-Share-Phase zu den be­reits be­kann­ten Teil­bar­keits­re­geln aus Klas­se 5 / 6. Da im Ma­the­ma­tik­un­ter­richt die ka­te­go­ri­sie­ren­de Un­ter­schei­dung in End­stel­len­re­geln und Quer­sum­men­re­geln even­tu­ell noch nicht durch­ge­führt wurde, müs­sen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­reits hier ein wenig die Struk­tur der Re­geln ana­ly­sie­ren. Auf­ga­be 2 dient dann dem wie­der­ho­len­den Üben die­ser Re­geln auf ver­schie­de­nen Schwie­rig­keits­stu­fen.

Viele Teil­bar­keits­re­geln be­grün­den sich durch die bei­den in Auf­ga­be 3 auf­ge­zeig­ten Sätze. Des­halb ist es grund­le­gend, dass diese bei­den Sätze von den Schü­le­rin­nen und Schü­lern be­herrscht wer­den. Auf­grund die­ser Be­deu­tung wird eine Be­spre­chung die­ser Auf­ga­be im Ple­num drin­gend emp­foh­len. Im An­schluss an die Be­spre­chung bie­tet es sich an, zu­min­dest ei­ni­ge Teil­auf­ga­ben aus Auf­ga­be 4 eben­falls im Ple­num schritt­wei­se durch­zu­füh­ren. Durch diese Auf­ga­be schärft sich rück­wir­kend auch noch­mals das Ver­ständ­nis für die Aus­sa­ge­kraft und Gren­zen der Sätze, ins­be­son­de­re im Hin­blick auf die (Nicht-)Gül­tig­keit der Um­kehr­sät­ze2.

In Folge die­ser be­reits ver­tie­fen­den Wie­der­ho­lung der be­kann­ten Teil­bar­keits­re­geln wer­den dann wei­te­re End- und Quer­sum­men­re­geln durch die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ent­deckt und be­grün­det. Ins­be­son­de­re beim Er­ar­bei­ten des struk­tu­rel­len Auf­baus der Quer­sum­men­re­geln ist es si­cher­lich hilf­reich, wenn man die Schrit­te im Team durch­spricht. Daher ist der zwei­te Auf­trag des AB Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln: Wei­te­re End­stel­len- und Quer­sum­men­re­geln be­reits als Part­ner­ar­beit be­schrie­ben. Ob die vor­an­ge­stell­ten Auf­trä­ge zu den End­stel­len­re­geln zu­nächst noch in Stil­lar­beit, oder be­reits in Part­ner­ar­beit statt­fin­den sol­len, kann si­cher­lich am bes­ten mit Blick auf die in­di­vi­du­el­le Lern­grup­pe ent­schie­den wer­den. Die Stil­lar­beit bie­tet den Vor­teil, dass sich jeder Ein­zel­ne in­halt­lich in­ten­siv hin­ein­den­ken muss, ein „men­ta­les Ab­tau­chen“ also er­schwert wird. Für den so­for­ti­gen Be­ginn in Part­ner­teams spricht, dass sich das Fin­den und Or­ga­ni­sie­ren aller Teams auf die An­fangs­pha­se kon­zen­triert und nicht lau­fend ge­schieht (wie es der Fall ist, wenn sich die Teams erst nach und nach zu­sam­men­set­zen, also immer dann, wenn zu­ge­hö­ri­ge Part­ner mit den ers­ten Auf­trä­gen in Stil­lar­beit fer­tig sind).

Die ab­schlie­ßen­den Auf­ga­ben auf dem AB Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln: Sum­men und Pro­duk­te wid­men sich schließ­lich noch der Kom­bi­na­ti­on meh­re­rer Teil­bar­keits­re­geln, wie es die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­reits durch die Teil­bar­keits­re­gel zum Tei­ler 6 ken­nen. Dabei sol­len den Schü­le­rin­nen und Schü­lern die Mög­lich­kei­ten und Gren­zen die­ser Re­gel­ver­knüp­fun­gen be­wusst wer­den. Das AB schließt dann mit ei­ni­gen An­wen­dun­gen die­ser Re­geln ab, wie sie auch in ein­schlä­gi­gen Wett­be­wer­ben zur Ma­the­ma­tik immer wie­der vor­kom­men.

2 Dies ist ei­gent­lich im Geo­me­trie-Teil 3.​1.​2.​3 (5) im Bil­dungs­plan ver­or­tet. Es bie­tet sich aber ins­be­son­de­re auch zur in­ter­nen Ver­knüp­fung an die­ser Stel­le an.

Tei­ler­men­gen und Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen (Stun­den 9 – 10)

Die Ar­beits­blät­ter Tei­ler­men­gen und Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen der nächs­ten bei­den Stun­den sind so an­ge­legt, dass die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zu­nächst in Zwei­er­teams ent­we­der die bei­den Sei­ten von Team Mü oder die bei­den Sei­ten von Team Nü be­ar­bei­ten. Im An­schluss daran tref­fen sich je ein Team Mü und ein Team Nü, bil­den somit eine Vie­rer­grup­pe und be­ar­bei­ten dann die zu­ge­hö­ri­ge drit­te Seite mit den ge­mein­sa­men Auf­trä­gen für beide Teams. Mit den fach­li­chen In­hal­ten „Tei­ler­men­gen“ und „Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen“ liegt hier ein Ni­veau vor, das für Schü­le­rin­nen und Schü­ler der Klas­sen­stu­fe 8 ei­gent­lich pro­blem­los zu be­wäl­ti­gen sein müss­te. Dies bie­tet die Mög­lich­keit, das sys­te­ma­ti­sche und re­flek­tier­te (Er-)Ar­bei­ten und die sinn­voll struk­tu­rier­te Kom­mu­ni­ka­ti­on in den Vor­der­grund zu stel­len. So wer­den die Schü­le­rin­nen und Schü­ler durch die Auf­ga­ben dazu an­ge­hal­ten, nicht nur Tei­ler­men­gen und Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen zu be­stim­men, son­dern das Vor­ge­hen so zu über­den­ken, dass es „ge­schickt“ ist und die­ses dann schrift­lich fest­zu­hal­ten. Die Part­ner­pha­se dient dabei der Kom­mu­ni­ka­ti­on zum ei­ge­nen Vor­ge­hen, ge­folgt von der Grup­pen­pha­se, in der die Zwei­er­teams ge­gen­sei­tig als Kon­troll­in­stanz des For­mu­lier­ten ein­ge­setzt wer­den (Auf­ga­be 1 und 2 der ge­mein­sa­men Auf­trä­ge). Die Auf­ga­ben 3 bis 6 die­nen einem mehr­schich­ti­gen Ab­schluss: So wird hier das Auf­stel­len von Tei­ler­men­gen und Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen nicht nur noch­mals geübt, son­dern auch noch auf ver­schie­de­ne Ei­gen­schaf­ten hin un­ter­sucht, sowie mit den Hasse-Dia­gram­men (und somit den Be­rei­chen der Gra­phen­theo­rie und auch der Geo­me­trie) ver­netzt. Die Be­spre­chung die­ser Auf­ga­ben 3 bis 6 kann im Ple­num der­art statt­fin­den, dass ver­schie­de­ne Grup­pen je­weils eine Auf­ga­ben­lö­sung vor­stel­len und diese dann ge­mein­sam dis­ku­tiert wer­den.

Als letz­te Seite be­fin­det sich auf dem AB noch der Teil Zum Schmö­kern: Mer­sen­ne-Prim­zah­len und voll­kom­me­ne Zah­len. Die­ser ist nur als „all­ge­mein­bil­den­de Zu­satz­in­for­ma­ti­on“ ge­dacht. Er kann „die War­te­zeit“ ein­zel­ner, schon fer­ti­ger Grup­pen auf die Mit­schü­le­rin­nen und Mit­schü­ler ver­kür­zen, oder auch als An­re­gung für ein Re­fe­rat / einen GFS-Vor­trag die­nen. Hier­in wird der (ver­blüf­fen­de) Zu­sam­men­hang zwi­schen Mer­sen­ne-Prim­zah­len und voll­kom­me­nen Zah­len dar­ge­stellt.

Hin­weis

In der Ein­heit „In­for­ma­ti­ons­ge­sell­schaft und Da­ten­si­cher­heit“ des Fach­be­rei­ches In­for­ma­tik wird die Vigenère-Ver­schlüs­se­lung the­ma­ti­siert. Bei der Ka­si­ski-Me­tho­de, die eine er­folg­rei­che An­griffs­stra­te­gie auf diese Ver­schlüs­se­lung dar­stellt, be­nö­tigt man grund­le­gen­de Kennt­nis­se über Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen. Des­halb ist es hier von Vor­teil, wenn in IMP-Ma­the­ma­tik be­reits die Prim­fak­tor­zer­le­gung be­han­delt wurde.

Das kgV, der ggT und der Eu­kli­di­sche Al­go­rith­mus (Stun­den 11 – 13)

So­wohl zum kleins­ten ge­mein­sa­men Viel­fa­chen (kgV), als auch zum größ­ten ge­mein­sa­men Tei­ler (ggT) kann man zahl­rei­che An­wen­dungs­bei­spie­le kon­stru­ie­ren. Zwei davon wur­den als Ein­stiegs­im­puls ge­wählt, um die prin­zi­pi­el­le Idee / Pro­blem­stel­lung die­ser Be­grif­fe zu mo­ti­vie­ren. Die Ein­stiegs­im­pul­se sind dafür ge­dacht, in Zwei­er- bis Vie­rer­grup­pen be­ar­bei­tet zu wer­den, bevor die Er­geb­nis­se im Ple­num vor­ge­stellt wer­den. Es ist aber auch eine Think-Pair-Share-Phase durch­aus denk­bar. In der Ple­nums­pha­se wer­den dann die Be­grif­fe des kgV und des ggT her­aus­ge­ar­bei­tet und fest­ge­hal­ten. Als zeit­spa­ren­de Op­ti­on die­nen die bei­den Ar­beits­blät­ter Das kleins­te ge­mein­sa­me Viel­fa­che – kgV und Der größ­te ge­mein­sa­me Tei­ler – ggT. Der Ein­gangs­text kann bei ent­spre­chen­der Be­hand­lung im Un­ter­richt (z.B. an der Tafel) weg­ge­las­sen wer­den. Die Auf­trä­ge auf die­sen bei­den AB-Sei­ten die­nen so­wohl der je­wei­li­gen Übung und Fes­ti­gung die­ser bei­den Be­grif­fe, als auch be­reits der Ver­knüp­fung mit der Prim­fak­tor­zer­le­gung (wie es im Bil­dungs­plan ein­ge­for­dert wird). Sie sind für die Be­ar­bei­tung in Stil­lar­beit ge­dacht, kön­nen aber si­cher­lich, wenn vom Fach­leh­rer ge­wünscht, auch in den ein­gangs zu­sam­men­ge­stell­ten Grup­pen be­ar­bei­tet wer­den.

Vom Bil­dungs­plan her nicht ein­ge­for­dert ist die ma­the­ma­tisch si­cher­lich reiz­vol­le Ver­knüp­fung bei­der Be­grif­fe zur Ad­di­ti­on von Bruch­zah­len. Sie kann op­tio­nal, bei­spiels­wei­se als bin­nen­dif­fe­ren­zie­ren­de Maß­nah­me, durch die je­wei­li­ge Auf­ga­be 4 ge­schaf­fen wer­den.

Auf der letz­ten Seite be­fin­den sich schließ­lich noch Wei­te­re Übun­gen zu kgV und ggT. Sie stel­len, neben der rei­nen Übungs­auf­ga­be 1 und der für leis­tungs­star­ke Schü­ler ein­zu­set­zen­den Auf­ga­be 6, in den Auf­ga­ben 2 – 5 eine wei­te­re Aus­wahl aus den ein­gangs er­wähn­ten zahl­rei­chen An­wen­dungs­bei­spie­len zu­sam­men.

So­zu­sa­gen als krö­nen­der Ab­schluss die­ser Ein­heit in Klas­se 8 wird der Eu­kli­di­sche Al­go­rith­mus be­han­delt. Hier bie­tet sich noch­mals die Chan­ce, auf viel­fäl­tigs­te Art Kom­pe­ten­zen und In­hal­te zu for­dern und zu för­dern. Es wurde ver­sucht, diese Viel­schich­tig­keit des Eu­kli­di­schen Al­go­rith­mus im Un­ter­richts­gang durch die Kon­zep­ti­on der vor­lie­gen­den Ar­beits­blät­ter zu be­rück­sich­ti­gen. So be­steht die Ein­gangs­se­quenz dar­aus, den Al­go­rith­mus al­ge­bra­isch zu ver­ste­hen und an­wen­den zu kön­nen. Diese kann in Still- oder Part­ner­ar­beit, aber auch im Ple­num durch­ge­führt wer­den. Die Be­grün­dung von Auf­ga­be 2a, dass es sich um den ggT han­deln muss, kann dabei leis­tungs­stär­ke­ren Schü­le­rin­nen und Schü­lern über­las­sen wer­den (des­halb das *-Sym­bol), alle an­de­ren kön­nen die Aus­sa­ge als ge­ge­ben ver­wen­den und somit auch ohne Be­weis wei­ter­ar­bei­ten. Als Haus­auf­ga­be, zur Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung oder für den fä­cher­ver­bin­den­den Ein­satz kann dann Auf­ga­be 4 die­nen.

Nach­dem die Schü­le­rin­nen und Schü­ler mit dem Eu­kli­di­schen Al­go­rith­mus ver­traut sind, fin­det eine Grup­pen­ar­beit statt, in der sie für das in­halt­li­che Ver­ständ­nis des Al­go­rith­mus wert­vol­le Ver­knüp­fun­gen zwi­schen Al­ge­bra und Geo­me­trie nach­voll­zie­hen. Durch die an­schlie­ßen­de Prä­sen­ta­ti­ons­pha­se fin­den auch Übun­gen von pro­zess­be­zo­ge­nen Kom­pe­ten­zen im Be­reich der Kom­mu­ni­ka­ti­on statt. Und nicht zu­letzt ent­ste­hen in die­ser Phase si­cher­lich Pos­ter, die die Äs­the­tik der Ma­the­ma­tik ins Klas­sen­zim­mer trans­por­tie­ren kön­nen.

Für sehr leis­tungs­star­ke Klas­sen wäre hier auch ein Un­ter­richts­gang in ver­tausch­ter Rei­hen­fol­ge denk­bar. Dabei stellt man einen der drei geo­me­tri­schen Zu­gän­ge aus der Grup­pen­ar­beit voran und lässt die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die­sen dann „al­ge­brai­sie­ren“, also in Terme fas­sen, wo­durch der Eu­kli­di­sche Al­go­rith­mus ent­steht.

Er­gän­zun­gen (Stun­de 13 + x)

Die geo­me­tri­schen Ver­an­schau­li­chun­gen des Eu­kli­di­schen Al­go­rith­mus wie­sen be­reits auf die Ele­ganz der Ma­the­ma­tik hin. Neben der Mög­lich­keit, über die Spi­ra­le auf dem letz­ten Ar­beits­blatt Grup­pe 3: Recht­ecke mit Qua­dra­ten aus­le­gen eine Ver­bin­dung zum The­men­ge­biet der Fi­bo­nac­ci-Zah­len zu schaf­fen, bie­tet der vor­lie­gen­de The­men­be­reich ma­the­ma­ti­sche Grund­la­gen der Kryp­to­lo­gie noch zahl­rei­che span­nen­de oder ver­blüf­fen­de Zu­sam­men­hän­ge. Sie zu ent­de­cken ge­hört zwar nicht zum Pflicht­be­reich, ist aber den­noch „eine Reise wert“. Die fol­gen­den An­re­gun­gen kön­nen daher ein­ge­setzt wer­den, wo immer es passt. Bei­spiels­wei­se kön­nen sie als The­men für Re­fe­ra­te oder GFSen ver­wen­det wer­den. Oder es blei­ben letzt­lich noch Stun­den übrig – der vor­lie­gen­de Ent­wurf von 13 Stun­den fügt sich ja le­dig­lich in eine 27-stün­di­ge Pla­nung ein – dann wäre es si­cher loh­nens­wert, den Blick noch ein wenig zu wei­ten.

Mög­li­che The­men / In­hal­te zur Er­gän­zung:

  • Hier fin­den sich ei­ni­ge Apps (und die zu­ge­hö­ri­gen Do­ku­men­ta­ti­ons­da­tei­en), die mit­hil­fe des App-In­ven­tors pas­send zur vor­lie­gen­den Un­ter­richts­ein­heit von Mo­ni­ka Ei­sen­mann ent­wi­ckelt wur­den. Wenn man die Teil­ge­bie­te I und M fä­cher­ver­bin­dend un­ter­rich­ten möch­te, so fin­det man darin gute An­re­gun­gen für The­men­stel­lun­gen (und Bei­spie­le zu deren Rea­li­sie­rung).
  • Zur Er­gän­zung der Zah­len­sys­te­me lässt sich gut der fol­gen­de Kar­tent­rick als of­fe­ne „Durch­schaut ihr den Trick“-Auf­ga­be stel­len: 27 un­ter­schied­li­che Kar­ten wer­den ge­mischt. Ein Zu­schau­er zieht ver­deckt eine Karte, sieht sie sich an und schiebt sie wie­der an eine be­lie­bi­ge Stel­le in den Sta­pel. Der „Zau­be­rer“ legt nun den Sta­pel mit Bild­sei­te nach unten vor sich hin und ver­teilt die Kar­ten nach­ein­an­der ab­wech­selnd auf drei Ab­la­gen – Bild nach oben. Der Zu­schau­er sieht dabei zu und mar­kiert nach­dem alle Kar­ten auf die drei Ab­la­gen ver­teilt wur­den, in wel­cher Ab­la­ge sich die ge­zo­ge­ne Karte be­fin­det. Der Zau­be­rer legt die drei Ab­la­ge­sta­pel auf­ein­an­der, den mar­kier­ten Sta­pel nach ganz unten (Bild­sei­ten immer noch oben!). Nun wird der Sta­pel um­ge­dreht (Bild­sei­te nach unten) und er­neut auf die drei Ab­la­gen ver­teilt und mar­kiert. Da­nach noch ein­mal - auf dem letzt­lich zu­sam­men­ge­stell­ten Sta­pel be­fin­det sich dann die ge­zo­ge­ne Karte ganz unten. Die­ser Trick lässt sich na­tür­lich auch auf 64 Kar­ten er­wei­tern ...
  • Be­weis des Sat­zes „Es gibt un­end­lich viele Prim­zah­len“. Die­ser wurde auf dem AB Prim­zah­len – Das Sieb des Era­tosthe­nes (04_mg­k_Prim­zah­len-Ein­stieg) in Auf­ga­be 4 vor­be­rei­tet. Eine mög­li­che Er­wei­te­rung führt zuvor noch auf den

    „Satz: Wenn a : t = m Rest x und b : t = n Rest y, dann ist a + b durch t teil­bar, wenn x + y durch t teil­bar ist.“

    bevor der Be­weis dann durch­ge­führt wird. Für sehr leis­tungs­star­ke Schü­le­rin­nen und Schü­ler bie­tet sich even­tu­ell sogar eine ent­spre­chen­de Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung di­rekt im Un­ter­richt an. Ma­te­ri­al dazu fin­det sich z.B. im MA-THEMA Ma­te­ri­al (Juni 2016) [Mall].
  • Rund um die Prim­zah­len gibt es viel zu ent­de­cken. Be­reits in­ner­halb des Un­ter­richts­gan­ges sind ei­ni­ge Ei­gen­schaf­ten ge­nannt, die ver­tieft und er­wei­tert wer­den kön­nen. Bei­spiels­wei­se Prim­zahl­z­wil­lin­ge, Mirp-Zah­len oder voll­kom­me­ne Zah­len – um nur drei davon zu nen­nen. Man fin­det hier­zu be­reits viel mit­hil­fe von Such­ma­schi­nen im In­ter­net. Eine um­fang­rei­che Zu­sam­men­stel­lung gibt es auch in [Boru]
  • Im Um­feld der Be­grif­fe kgV / ggT gibt es eine schö­ne Me­tho­de, die Prim­fak­tor­zer­le­gung von Zah­len mit Loch­kar­ten dar­zu­stel­len und durch Über­ein­an­der­le­gen den ggT / das kgV zu be­stim­men. Dazu wer­den die Prim­fak­to­ren auf Kar­teikärt­chen zei­len­wei­se nach Häu­fig­keit ge­locht. Ein Un­ter­richts­kon­zept dazu fin­det sich in [Heit] .
  • Zu den Teil­bar­keits­re­geln gibt es na­tür­lich noch die ver­schie­dens­ten Re­geln zu fin­den. Ganz schön her­aus­for­dernd sind bei­spiels­wei­se die 7er oder 13er-Regel (Alle Teil­bar­keits­re­geln sind schnell im In­ter­net auf­find­bar).
  • Der Ka­si­ski-Test bie­tet eine Mög­lich­keit, mit­hil­fe von Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen und Tei­ler­men­gen das Schlüs­sel­wort eines Ge­heim­tex­tes, der mit dem Vigenère-Ver­fah­ren ver­schlüs­selt wurde, zu kna­cken. Da im In­for­ma­tik-Teil eine grund­le­gen­de An­griffs­stra­te­gie auf die­ses Ver­fah­ren zu be­han­deln ist, bie­tet sich dazu ein zwi­schen Ma­the­ma­tik und In­for­ma­tik ab­ge­stimm­tes Vor­ge­hen an.
  • Eine wei­te­re an­schau­li­che In­ter­pre­ta­ti­on des Eu­kli­di­schen Al­go­rith­mus ist das Wie­gen mit le­dig­lich zwei un­ter­schied­lich schwe­ren Wä­ge­stü­cken (ent­spre­chend den Zah­len, deren ggT ge­sucht ist). Bei­spiels­wei­se fin­det man dies unter [Posa] auf S.188 (Un­ter­richts­ein­heit 79). Diese kann man ver­knüp­fen mit dem Wie­gen in an­de­ren Zah­len­sys­te­men, z.B. bei [Stri] – Wie­gen im 3er-Sys­tem.
  • Oben be­reits er­wähnt, in die­ser Auf­lis­tung nur noch­mals für die Voll­stän­dig­keit: Fi­bo­nac­ci-Zah­len als Er­wei­te­rung nach der zu­ge­hö­ri­gen Spi­ra­le in der qua­dra­ti­schen Aus­le­gung eines Recht­ecks (Eu­kli­di­scher Al­go­rith­mus).

 

 

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Wei­ter zu Li­te­ra­tur