Wei­te­re End­stel­len- und Quer­sum­men­re­geln

Zur Be­grün­dung von Teil­bar­keits­re­geln ver­wen­det man häu­fig die fol­gen­den Sätze¹

¹ Du kennst diese bei­den Sätze schon vom Ar­beits­blatt „Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln: Wie­der­ho­lung“

End­stel­len­re­geln

Die Re­geln zur Teil­bar­keit durch 2, 5 und 10 sind so­ge­nann­te End­stel­len­re­geln. Hier musst du nur die letz­te Zif­fer be­trach­ten, um die ent­spre­chen­de Teil­bar­keit für eine be­lie­big große Zahl zu prü­fen. Es gibt aber auch End­stel­len­re­geln, die sich nicht auf die letz­te Zif­fer, son­dern auf die letz­ten zwei, drei, … Zif­fern be­zie­hen.

Auf­trä­ge in Stil­lar­beit:

1. Be­grün­de die 5er-Regel.

   Es lie­gen Hil­fe­kärt­chen be­reit, wenn du nicht wei­ter­kommst.

2. For­mu­lie­re die End­stel­len­re­gel zur Teil­bar­keit durch 100 und be­grün­de sie.

3. Auch die Teil­bar­keit durch 4 lässt sich mit­hil­fe einer End­stel­len­re­gel, die auf den letz­ten bei­den Zif­fern be­ruht, prü­fen. For­mu­lie­re und be­grün­de sie.

4. Finde die Regel zur Teil­bar­keit durch 8, for­mu­lie­re und *be­grün­de sie.

Quer­sum­men­re­geln

Die Be­grün­dung für die Teil­bar­kei­ten mit Quer­sum­men­re­geln las­sen sich am bes­ten an Bei­spie­len durch­füh­ren. Wich­tig dabei ist es, dass die Vor­ge­hens­wei­se all­ge­mein­gül­tig ist, d.h. an jeder Zahl mög­lich wäre, also nicht nur am ge­wähl­ten Bei­spiel.

1. Ihr er­hal­tet eine Be­grün­dung für die 9er-Regel.

   a.) Lest die Regel durch und be­sprecht sie so, dass ihr jeden Schritt er­klä­ren könnt.

   b.) Be­grün­det die 3er-Regel auf die glei­che Art.

2. Für die Teil­bar­keit durch 11 gibt es eine so­ge­nann­te „al­ter­nie­ren­de Quer­sum­men­re­gel“. Dazu zieht man von der Quer­sum­me aus allen Zif­fern, die an einer un­ge­ra­den Stel­le ste­hen, die Quer­sum­me aus allen Zif­fern an ge­ra­den Stel­len ab. Zum Bei­spiel be­trach­tet man für die Zahl 645 738 die Dif­fe­renz von 4 + 7 + 8 und 6 + 5 + 3.

   a.) Führt dies für viele Zah­len durch – so­wohl durch 11 teil­ba­re, als auch nicht durch 11 teil­ba­re (WTR ist dabei er­laubt). Be­trach­tet die so ge­bil­de­ten Dif­fe­ren­zen und stellt eine Regel für die Teil­bar­keit durch 11 auf.

   b.) Gebt euch ge­gen­sei­tig Zah­len vor, die ihr auf die Teil­bar­keit durch 11 mit eurer Regel prüft und kon­trol­liert dann mit dem WTR.

   c.)* Es gilt: 10=11−1, 100=99+1=9·11+1, 1000=1001−1=91·11−1, 10000=9999+1=909·11+1 . Be­grün­det die Teil­bar­keits­re­gel aus a.) mit­hil­fe der Sätze 1 und 2 an ge­eig­ne­ten Auf­spal­tun­gen mit den Bei­spiel­zah­len 90981 und 53211.

Auf­ga­be 1, Hil­fe­kärt­chen 1:

Bei jeder mehr­stel­li­gen Zahl kann man die Ei­ner­stel­le durch Sum­men­bil­dung ab­spal­ten, z.B.

344 = 340 + 4

425 = 420 + 5

716 = 710 + 6

usw.

Auf­ga­be 1, Hil­fe­kärt­chen 2:

Be­trach­te die so er­hal­te­nen Sum­men ge­nau­er, (z.B. die von Hil­fe­kärt­chen 1) Was kannst du über die Teil­bar­keit durch 5 des ers­ten Sum­man­den sagen? Be­grün­de deine Aus­sa­ge mit­hil­fe von Satz 2. Wel­che Aus­sa­ge folgt dann mit­hil­fe von Satz 1 an­hand des zwei­ten Sum­man­den?

Auf­ga­be 1, Hil­fe­kärt­chen 3:

Be­trach­te wei­ter­hin die so er­hal­te­nen Sum­men. Der vor­de­re Sum­mand lässt sich immer als Pro­dukt mit der Zahl 5 schrei­ben, z.B. 340 = 34 · 10 = 34 · 2 · 5 = 68 · 5, laut Satz 2 ist er also stets durch 5 teil­bar. Der hin­te­re Sum­mand kann durch 5 teil­bar sein. Was folgt dann mit Satz 1? Und wenn er nicht durch 5 teil­bar ist, wel­che Aus­sa­ge lässt Satz 1 dann zu? Mehr Mög­lich­kei­ten gibt es aber nicht – das war schon alles.

Zu Auf­ga­be 5.: Be­grün­dung der Quer­sum­men­re­gel „Teil­bar­keit durch 9“ am Bei­spiel 4257

Wenn wir die Teil­bar­keit der Zahl 4257 durch 9 prü­fen möch­ten, dann kön­nen wir­sie fol­gen­der­ma­ßen um­for­men:

4257 = 4 · 1000 + 2 · 100 + 5 · 10 + 7.

Das hilft noch nicht ganz, lässt sich aber noch wei­ter um­for­men:

4257 = 4 · (999 + 1) + 2 ·(99 + 1)+ 5 ·(9 + 1) + 7, bzw.

4257 = 4 · 999 + 4 · 1 + 2 · 99 + 2 · 1 + 5 · 9 + 5 · 1 + 7

= 4 · 999+2·99+5·9+4+2+5+7

= (4 · 999 + 2 · 99 + 5 · 9) + (4 + 2 + 5 + 7)

Jeder Sum­mand in der vor­de­ren Klam­mer ist wegen Satz 2 durch 9 teil­bar.

Mit Satz 1a folgt dann, dass die Summe in der vor­de­ren Klam­mer eine durch 9teil­ba­re Zahl er­gibt

Somit folgt aus Satz 1 (a und b), dass die Summe aus bei­den Klam­mern durch 9 teil­bar ist, wenn die hin­te­re Klam­mer durch 9 teil­bar ist und dass sie nicht durch 9 teil­bar ist, wenn die hin­te­re Klam­mer nicht durch 9 teil­bar ist. Die hin­te­re Klam­me­rist aber genau die Quer­sum­me der Zahl, dies lie­fert die Quer­sum­men­re­gel.

Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln: Her­un­ter­la­den [odt][390 KB]

Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln: Her­un­ter­la­den [pdf][160 KB]

Wei­ter zu Sum­men und Pro­duk­te