Beweis 3
Idee: r+s+t wird durch Verschiebungen und Drehungen auf hc visualisiert, r wird parallel zu AB verschoben, s, t werden auf Höhen des Dreiecks SQC abgebildet
Datei: 03_geo_viviani_Beweis_III.ggb
Vor.: ABC ist ein gleichseitiges Dreieck, P ist ein Punkt im Innern oder auf dem Rand des Dreiecks ABC. Die Abstände von P zu den drei Seiten werden mit r, s, t bezeichnet. D ist Lotfußpunkt der Höhe hc des Dreiecks ABC.
z.z.: r + s + t = hc
Vorbetrachtung:
Die Parallele zur Seite c=AB durch P schneidet AC in S , hc in N und BC in Q.
Im Mittelpunkt stehen die gleichseitigen Dreiecke SPT und SQC, es gelten:
(1) QC || PT bzw. GL || PI (Grundseiten der Dreiecke sind parallel)
(2) I liegt auf der Gerade LS (S ist gemeinsame Ecke, LS gemeinsameSymmetrieachse)
(3) PH = IS (Höhen im Dreieck SPT sind gleich lang)
(4) LS = NC (ebenso im Dreieck SQC)
Beweis:
Aus (1) GP = LI (Verschiebung der Strecke GP parallel zu BC ).
Aus (2) PH = IS (Drehung der Höhe PH im Dreieck SPT)
Aus (1) und (2) GP+PH = LI + IS (Summe der beiden Strecken)
mit (4) und (3): LI+IS = LS = NC (entspricht den Höhen im Dreieck SQT)
aus (1)-(4) folgt: GP+PH = NC (5)
Abschluss: FP = DN (6) (Verschiebung der Strecke FP parallel zu AB)
aus (5) und (6) r+s+t = FP+GP+PH = DN+NC = DC = hc (N liegt auf DC)
Mit der genannten Datei lässt sich der Beweisgang dynamisch visualisieren, die Parallelverschiebungen und Drehungen können animiert werden.
1 Posamentier, Alfred: „Mathematik 119 Unterrichtseinheiten“, Klett-Verlag, Stuttgart, 1994, Einheit 44, S. 109 ff
Satz von Viviani – Lösungen: Herunterladen [odt][414 KB]
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