Be­weis 3

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Idee: r+s+t wird durch Ver­schie­bun­gen und Dre­hun­gen auf h_c vi­sua­li­siert, r wird par­al­lel zu AB ver­scho­ben, s, t wer­den auf Höhen des Drei­ecks SQC ab­ge­bil­det

Datei: 03_­geo_vi­via­ni_­Be­weis_I­II.ggb

Vor.: ABC ist ein gleich­sei­ti­ges Drei­eck, P ist ein Punkt im In­nern oder auf dem Rand des Drei­ecks ABC. Die Ab­stän­de von P zu den drei Sei­ten wer­den mit r, s, t be­zeich­net. D ist Lot­fuß­punkt der Höhe h_c des Drei­ecks ABC.

z.z.: r + s + t = h_c

Vor­be­trach­tung:

Die Par­al­le­le zur Seite c=AB durch P schnei­det AC in S , h_c in N und BC in Q.

Im Mit­tel­punkt ste­hen die gleich­sei­ti­gen Drei­ecke SPT und SQC, es gel­ten:

(1) QC || PT bzw. GL || PI (Grund­sei­ten der Drei­ecke sind par­al­lel)

(2) I liegt auf der Ge­ra­de LS (S ist ge­mein­sa­me Ecke, LS ge­mein­sa­me­Sym­me­trie­ach­se)

(3) PH = IS (Höhen im Drei­eck SPT sind gleich lang)

(4) LS = NC (eben­so im Drei­eck SQC)

Be­weis:

Aus (1) GP = LI (Ver­schie­bung der Stre­cke GP par­al­lel zu BC ).

Aus (2) PH = IS (Dre­hung der Höhe PH im Drei­eck SPT)

Aus (1) und (2) GP+PH = LI + IS (Summe der bei­den Stre­cken)

mit (4) und (3): LI+IS = LS = NC (ent­spricht den Höhen im Drei­eck SQT)

aus (1)-(4) folgt: GP+PH = NC (5)

Ab­schluss: FP = DN (6) (Ver­schie­bung der Stre­cke FP par­al­lel zu AB)

aus (5) und (6) r+s+t = FP+GP+PH = DN+NC = DC = h_c (N liegt auf DC)

Mit der ge­nann­ten Datei lässt sich der Be­weis­gang dy­na­misch vi­sua­li­sie­ren, die Par­al­lel­ver­schie­bun­gen und Dre­hun­gen kön­nen ani­miert wer­den.

 

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Satz von Vi­via­ni – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [odt][414 KB]

Satz von Vi­via­ni – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [pdf][280 KB]

 

Wei­ter zu Dy­na­mi­sche Vi­sua­li­sie­rung