Zum Schmökern: Mersenne-Primzahlen und vollkommene Zahlen

Mersenne-Primzahlen

Von der Jagd nach hohen Primzahlen hast du schon gehört. Sie wird in den kommendenJahren im IMP-Unterricht auch immer mal wieder „durchscheinen“. Hohe Primzahlen müssenunter Einsatz von großer Rechenkapazität mit Computern bestimmt und als Primzahl bestätigtwerden. Der Bedarf ist so groß, dass man ihn auf sehr viele Computer verteilt. Dies nenntman verteiltes Rechnen. Jeder der möchte kann sich dazu bei verschiedenen Institutenanmelden und die Rechenleistung seines eigenen PCs zuhause zur Verfügung stellen, um beieinem solchen Projekt mitzumachen¹. Der PC führt dann im Hintergrund in der Zeit, in der ervom Besitzer nicht (erschöpfend) „beschäftigt“ wird, Rechenschritte für das Verfahren aus.

Im Bereich von Primzahlen widmen sich die bekanntesten Projekte den sogenannten Mersenne-Primzahlen. Mersenne-Zahlen werden die Zahlen genannt, die aus einer natürlichen Zahl n durch die Berechnung 2ⁿ - 1 entstehen. Der französische Mönch Marin Mersenne widmete sich bereits im 17. Jahrhundert diesen Zahlen, die ihm zu Ehren benannt wurden. Die ersten Mersenne-Zahlen sind 1, 3, 7, 15, 31, 63. Man sieht an dieser Auflistung: Es sind einige Primzahlen darunter, wenngleich nicht alle Mersenne-Zahlen Primzahlen sind (z.B. die 15) und nicht jede Primzahl eine Mersenne-Zahl ist (z.B. die 5). Die Mersenne-Zahlen sind jedoch vergleichsweise schnell zu berechnen und auf die Eigenschaft „Primzahl oder nicht“ zu prüfen, weshalb sie sich besonders für verteiltes Rechnen eignen. Zu Beginn des Jahres 2018 war übrigens die höchste so bestätigte Primzahl die Zahl 2^77 232 917 - 1. Kurzzeitig hielt im Jahr 2005 ein Augenarzt aus Schwäbisch Hall „Primzahl-Weltrekord“. Er hatte mit den Computern seiner Praxis die damals höchste Primzahl berechnet, 2^25 964 951 -1.

Vollkommene Zahlen

Als „vollkommen“ wird eine Zahl bezeichnet, deren Summe aller Teiler das doppelte der Zahlergibt. Ein Beispiel ist die Zahl 6: Ihre Teiler sind 1, 2, 3 und 6, die Summe daraus ist 12.Leider gibt es nicht so viele vollkommene Zahlen, im Zahlenraum bis 1000 gibt esbeispielsweise nur drei davon: Die 6, die 28 und die 496.

Und jetzt wird es spannend: Zunächst wirst du denken, wir hätten auf einmal das Themagewechselt. Gerade noch war von Mersenne-Primzahlen die Rede und jetzt von Teilersummen und vollkommenen Zahlen. Es gibt da aber einen Zusammenhang. Man hat nämlich Folgendes herausgefunden: Wenn zu einer natürlichen Zahl n > 0 die Mersenne-Zahl 2ⁿ-1 eine Primzahl ist, dann ist das Produkt aus dieser Zahl und der Zahl 2^n-1 einevollkommene Zahl.

Beispiel:

Für n = 3 ist 2³ - 1 = 7 eine Primzahl.

Dann ist (2³ − 1) · 2³⁻¹=7· 4 = 28 – eine vollkommene Zahl.

Probiere es mit höheren Zahlen aus. Und dann immer noch nicht genug? Suche im Internetnach den Stichworten Mersenne, vollkommene Zahl, usw. Hier gibt es noch viel zu entdecken.

¹ ACHTUNG: Es wird hier absichtlich kein Beispiel genannt, da man immer aufpassen muss, dass man seinen Rechner nicht an „Bösewichte“ zur Verfügung stellt. Außerdem bedeutet ein ständiges Rechnen auch einen höheren Energiebedarf des Computers – was in der Summe vieler tausend Computer ökologisch durchaus kritisch gesehen werden kann. Deshalb solltest du nicht ohne Rücksprache mit deinen Eltern und sorgfältige Prüfung des Anbieters an so einem Verfahren teilnehmen.

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