Prim­zah­len – Sieb des Era­tosthe­nes

Quel­le: ZPG IMP

Prim­zah­len sind be­reits seit der An­ti­ke be­kannt. Schon die „alten Grie­chen“, z.B. Eu­klid und Era­tosthe­nes, wid­me­ten sich den Prim­zah­len und ent­deck­ten zahl­rei­che span­nen­de ma­the­ma­ti­sche Ei­gen­schaf­ten rund um Prim­zah­len. Aber auch in neue­ren Jah­ren be­schäf­tig­ten sich viele Ma­the­ma­ti­ker mit Prim­zah­len, dar­un­ter so be­rühm­te Namen wie Euler, Fer­mat, Gold­bach oder auch Gauss. Im Feld der Kryp­to­lo­gie, also der Wis­sen­schaft vom Ver- und Ent­schlüs­seln von Bot­schaf­ten durch (ma­the­ma­ti­sche) Re­geln, be­ka­men Prim­zah­len im Ver­lauf der letz­ten knapp 100 Jahre eine immer wich­ti­ge­re Be­deu­tung. Es be­gann eine re­gel­rech­te Jagd nach gro­ßen Prim­zah­len.

Doch be­gin­nen wir von An­fang an. Zu­nächst wie­der­ho­len wir noch­mals, was eine Prim­zahl über­haupt ist:

Deine Auf­trä­ge:

1. Be­grün­de, dass die Zahl 1 keine Prim­zahl ist.

2. Um Prim­zah­len zu fin­den, kann man das fol­gen­de Ver­fah­ren durch­füh­ren, das so­ge­nann­te Sieb des Era­tosthe­nes. Zu­erst wird die Zahl 1 ge­stri­chen. Die Zahl 2 wird um­kreist und dann alle Viel­fa­chen von ihr ge­stri­chen. Dann wird die nach der 2 nächs­te nicht ge­stri­che­ne Zahl, die 3, um­kreist und alle Viel­fa­chen von ihr ge­stri­chen. Jetzt wird die nach der 3 nächs­te freie Zahl um­kreist (die 5) und ihre Viel­fa­chen ge­stri­chen, usw. Den An­fang siehst du im fol­gen­den Bei­spiel. Fer­ti­ge eine Ta­bel­le der Zah­len bis 100 an und führe das Sche­ma voll­stän­dig durch – um­kreist blei­ben nur die Prim­zah­len übrig.

   

3. „Wenn man eine be­lie­bi­ge na­tür­li­che Zahl k wählt und dann 2^k - 1 be­rech­net, so er­hält man stets eine Prim­zahl, z.B. 2² - 1 = 3“. Ist diese Aus­sa­ge rich­tig? Be­grün­de.

   Üb­ri­gens: Man nennt Zah­len der Art 2^k - 1 Mer­sen­ne-Zah­len. Bei der „Jagd“ nach hohen Prim­zah­len fo­kus­sie­ren sich Ma­the­ma­ti­ker heute auf diese Zah­len, dar­un­ter die Zahl 2^77232917 - 1, die zu Be­ginn des Jah­res 2018 höchs­te be­kann­te Prim­zahl. Sie wurde durch ver­teil­tes Rech­nen be­stimmt. Mehr dazu fin­dest du im In­ter­net, wenn du nach Mer­sen­ne-Zah­len suchst.

4. a.) Be­rech­ne für k = 1 bis 5 fünf ver­schie­de­nen Zah­len auf die fol­gen­de Art: Mul­ti­pli­zie­re die ers­ten k Prim­zah­len mit­ein­an­der und ad­die­re 1. Bei­spiel: Für k = 2 ist dies 2 * 3 + 1 = 7.

   b.) Be­trach­te die Er­geb­nis­se aus a.). Was fällt dir an der Ei­ner­stel­le auf? Prüfe an ein paar Bei­spie­len, ob deine Idee auch für k > 5 gilt. Ver­su­che die Be­ob­ach­tung zu er­klä­ren.

   c.)* Teile die fünf Zah­len aus a.) nach­ein­an­der durch jede ein­zel­ne Prim­zahl, die zu ihrer Be­rech­nung ver­wen­det wurde. Ver­wen­de „Tei­len mit Rest“. Was fällt dir auf? Be­grün­de.

5. a.)* Pro­gram­mie­re das Sieb des Era­thos­te­nes wahl­wei­se für eine fest vor­ge­ge­be­ne Zahl n (z.B. 1000), oder bis zu einer Zahl, die das Pro­gramm vom Nut­zer zu­nächst ab­fragt.

   b.)* Er­klä­re das Prin­zip, nach dem das Sieb des Era­tosthe­nes funk­tio­niert.

   c.)** Wie­der­ho­le Auf­ga­be 4 mit wei­te­ren Wer­ten für k. Stel­le dann eine be­grün­de­te Ver­mu­tung auf: Kann es eine größ­te Prim­zahl geben? Prüfe mit­hil­fe von Prim­zahl­ta­bel­len, wel­che Zah­len davon Prim­zah­len sind. Die Nicht-Prim­zah­len dar­un­ter las­sen sich in ein Pro­dukt aus Prim­zah­len zer­le­gen ¹. Ver­glei­che diese Prim­zah­len mit denen zur Er­zeu­gung ver­wen­de­ten Prim­zah­len aus Auf­ga­be 4. Stel­le dann eine be­grün­de­te Ver­mu­tung auf: Kann es eine größ­te Prim­zahl geben?

AB Prim­zah­len – Sieb des Era­tosthe­nes:

Zu Auf­ga­be 4a.) Alle Prim­zah­len zwi­schen 0 und 2500:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857,859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477

Prim­zah­len – Sieb des Era­tosthe­nes: Her­un­ter­la­den [odt][362 KB]

Prim­zah­len – Sieb des Era­tosthe­nes: Her­un­ter­la­den [pdf][160 KB]

Wei­ter zu Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln