Zur Haupt­na­vi­ga­ti­on sprin­gen [Alt]+[0] Zum Sei­ten­in­halt sprin­gen [Alt]+[1]

Wei­te­re End­stel­len- und Quer­sum­men­re­geln

Auf­trä­ge in Stil­lar­beit:

  1. Be­grün­de die 5er-Regel.

    Es lie­gen Hil­fe­kärt­chen be­reit, wenn du nicht wei­ter­kommst.

    Jede Zahl lässt sich zer­le­gen in eine Summe aus ihren „Ei­nern“ und dem Rest, z.B. 123 = 3 + 120. Der Rest ist auf jeden Fall ein Viel­fa­ches von 10 und somit durch 5 teil­bar. Somit folgt aus Satz 1, dass die Zahl nur dann durch 5 teil­bar ist, wenn die „Einer“ es sind, also nur bei den „Ei­nern“ 0 oder 5. Die „Einer“ ent­spre­chen aber der letz­ten Zif­fer der Zahl, wo­durch die End­stel­len­re­gel be­grün­det ist.

  2. For­mu­lie­re die End­stel­len­re­gel zur Teil­bar­keit durch 100 und be­grün­de sie.

    Die Teil­bar­keits­re­gel durch 100 ist eine End­stel­len­re­gel über die bei­den letz­ten Stel­len: Eine Zahl ist genau dann durch 100 teil­bar, wenn ihre letz­ten bei­den Zif­fern beide 0 sind. Die Be­grün­dung ver­läuft wie die Be­grün­dung der 5er-Regel, man trennt aber in eine Summe aus einer Zahl, die aus den letz­ten bei­den Zif­fern ent­steht (also zwi­schen 0 und 99 liegt) und einer Zahl, die nur ganz­zah­lig viele 100er be­inhal­tet. Letz­te­re ist durch 100 teil­bar, somit ist die Summe nur bei der ers­ten Zahl 0 (die aus den Zif­fern 00 ent­steht) durch 100 teil­bar.

  3. Auch die Teil­bar­keit durch 4 lässt sich mit­hil­fe einer End­stel­len­re­gel, die auf den letz­ten bei­den Zif­fern be­ruht, prü­fen. For­mu­lie­re und be­grün­de sie.

    Eine Zahl ist durch 4 teil­bar, wenn die aus ihren letz­ten bei­den Zif­fern ge­bil­de­te Zahl durch 4 teil­bar ist.

    Be­grün­dung: Auch hier trennt man in die letz­ten bei­den Zif­fern und eine „Hun­der­ter­zahl“. Da die „Hun­der­ter­zahl“ durch 4 teil­bar ist, ist die Summe durch 4 teil­bar, wenn die Zahl, die aus den letz­ten bei­den Zif­fern ent­steht, durch 4 teil­bar ist.

  4. Finde die Regel zur Teil­bar­keit durch 8, for­mu­lie­re und *be­grün­de sie.

    Eine Zahl ist durch 8 teil­bar, wenn die aus ihren letz­ten drei Zif­fern ge­bil­de­te Zahl durch 8 teil­bar ist.

    Be­grün­dung: Da 8 nicht jeder „Zeh­ner­zahl“ und nicht jeder „Hun­der­ter­zahl“ teilt, rei­chen zwei Stel­len nicht aus. 8 teilt aber jeder „Tau­sen­der­zahl“! Des­halb bil­det man auch hier wie­der eine Summe aus der Zahl, die aus den letz­ten drei Zif­fern ge­bil­det wird, und dem Rest, der dann eine aus ganz­zah­li­gen 1000ern be­ste­hen­de Zahl ist. Letz­te­re ist durch 8 teil­bar, also ist die Summe durch 8 teil­bar, wenn es die Zahl aus den letz­ten drei Zif­fern ist.

    Bei­spiel: 53 248 = 53 000 + 248. In die 53 000 passt die 8, da dies eine „Tau­sen­der­zahl“ ist. Nun muss noch die 248 ge­prüft wer­den. Da 248 : 8 = 36 ist auch die 53 248 durch 8 teil­bar.

Quer­sum­men­re­geln

Die Be­grün­dung für die Teil­bar­kei­ten mit Quer­sum­men­re­geln las­sen sich am bes­ten an Bei­spie­len durch­füh­ren. Wich­tig dabei ist es, dass die Vor­ge­hens­wei­se all­ge­mein­gül­tig ist, d.h. an jeder Zahl mög­lich wäre, also nicht nur am ge­wähl­ten Bei­spiel.

  1. Ihr er­hal­tet eine Be­grün­dung für die 9er-Regel.

    a.) Lest die Regel durch und be­sprecht sie so, dass ihr jeden Schritt er­klä­ren könnt.

    b.) Be­grün­det die 3er-Regel auf die glei­che Art.

    Wenn wir die Teil­bar­keit z.B. der Zahl 4257 durch 3 prü­fen möch­ten, dann kön­nen wir sie fol­gen­der­ma­ßen um­for­men:

    4257 = 4 · 1000 + 2 · 100 + 5 · 10 + 7.

    Das hilft noch nicht ganz, lässt sich aber noch wei­ter um­for­men:

    Abbildung zur Umformung

    Der vor­de­re Sum­mand be­steht aus einer Klam­mer (die eine na­tür­li­che Zahl er­gibt) und dem Fak­tor 3. Damit ist die­ser Sum­mand laut De­fi­ni­ti­on der Teil­bar­keit durch 3 teil­bar.

    Die Summe aus die­sem „vor­de­ren“ Teil und der hin­te­ren Klam­mer ist dann wegen Satz 1 (a und b) durch 3 teil­bar, wenn die hin­te­re Klam­mer durch 3 teil­bar ist und sie ist nicht durch 3 teil­bar, wenn die hin­te­re Klam­mer nicht durch 3 teil­bar ist. Die hin­te­re Klam­mer ist aber genau die Quer­sum­me der Zahl, dies lie­fert die Quer­sum­men­re­gel.

  2. Für die Teil­bar­keit durch 11 gibt es eine so­ge­nann­te „al­ter­nie­ren­de Quer­sum­men­re­gel“. Dazu zieht man von der Quer­sum­me aus allen Zif­fern, die an einer un­ge­ra­den Stel­le ste­hen, die Quer­sum­me aus allen Zif­fern an ge­ra­den Stel­len ab. Zum Bei­spiel be­trach­tet man für die Zahl 645 738 die Dif­fe­renz von 4 + 7 + 8 und 6 + 5 + 3.

    a.) Führt dies für viele Zah­len durch – so­wohl durch 11 teil­ba­re, als auch nicht durch 11 teil­ba­re (WTR ist dabei er­laubt). Be­trach­tet die so ge­bil­de­ten Dif­fe­ren­zen und stellt eine Regel für die Teil­bar­keit durch 11 auf.

    Bei­spie­le:

    Abbildung Beispiele zur Teilbarkeit

    Regel:

    Eine Zahl ist genau dann durch 11 teil­bar, wenn die Dif­fe­renz aus der Summe der Zif­fern an un­ge­ra­den Stel­len und der Summe der Zif­fern an ge­ra­den Stel­len durch 11 teil­bar ist.

    Üb­ri­gens: Man nennt dies die al­ter­nie­ren­de Quer­sum­me. Denn an­statt z.B. bei der Zahl 85 976 die bei­den Sum­men wie oben zu bil­den und dann von­ein­an­der ab­zu­zie­hen, kann man auch mit al­ter­nie­ren­dem Re­chen­zei­chen so vor­ge­hen:

    8 – 5 + 9 – 7 + 6 = 11

    c.)* Es gilt: 10=11−1, 100=99+1=9·11+1, 1000=1001−1=91·11−1, 10000=9999+1=909·11+1 . Be­grün­det die Teil­bar­keits­re­gel aus a.) mit­hil­fe der Sätze 1 und 2 an ge­eig­ne­ten Auf­spal­tun­gen mit den Bei­spiel­zah­len 90981 und 53211.

    Man er­kennt an den Au­tei­lun­gen, dass in der je­weils letz­ten Zeile die Sum­man­den, die nicht fett­for­ma­tiert sind, stets den Fak­tor 11 be­inhal­ten und somit auch als Ge­samt­sum­me aus sel­bi­gen) durch 11 teil­bar sind. Die fett for­ma­tier­ten Sum­man­den blei­ben „übrig“, aus ihnen kann man wie­der eine Summe bil­den. Sie ent­spricht der al­ter­nie­ren­den Quer­sum­me. Wenn sie nun eben­falls durch 11 teil­bar ist, dann ist die ge­sam­te Zahl durch 11 teil­bar, an­sons­ten nicht.

    Abbildung Beispielzahlen zur Aufspaltung

 

 

Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [odt][394 KB]

Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [pdf][237 KB]

 

Wei­ter zu Sum­men und Pro­duk­te