Wei­te­re Übun­gen zu kgV und ggT

1. Wäh­rend ihrer lang­wei­li­gen Nacht­schicht schickt Agen­tin Nü eine ver­schlüs­sel­te Bot­schaft an Agent Mü. Ent­schlüs­se­le sie.



2. Auf der Ra­sen­flä­che des Agen­ten-Haupt­quar­tiers soll eine recht­ecki­ge Lan­de­flä­che für Hub­schrau­ber durch Lam­pen um­rahmt wer­den. Die Lan­de­flä­che soll 16 m lang und 12 m breit sein. Der Ab­stand der Lam­pen soll gleich groß sein und in „gan­zen Me­tern“ ge­wählt wer­den. An allen vier Ecken muss eine Lampe ge­setzt wer­den. Be­stim­me, wie viele Lam­pen dazu auf jeden Fall nötig sind.

   Der ggT(12; 16) be­trägt 4. Der größt­mög­li­che Ab­stand ist also 4 m. An jeder lan­gen Seite sind damit 5 Lam­pen nötig, Mit die­sen ins­ge­samt 10 Lam­pen sind die Ecken be­reits ver­sorgt. An den bei­den kur­zen Sei­ten wer­den dann je­weils noch wei­te­re 2 Lam­pen be­nö­tigt, ins­ge­samt also 14 Lam­pen.

3. Aus vie­len klei­nen Bau­klöt­zen mit den Maßen 3 cm x 5 cm x 6 cm soll ein Wür­fel ge­baut wer­den. Be­rech­ne: Wie viele Bau­klöt­ze be­nö­tigt man dazu min­des­tens und wel­che Maße hat der Wür­fel dann?

   Hier­zu wird das kgV aus drei Zah­len be­nö­tigt, da der Wür­fel in alle drei Di­men­sio­nen gleich lange Sei­ten haben muss. Das kgV(3; 5; 6) = 30. Somit hat der Wür­fel die Sei­ten­län­ge 30cm. Man be­nö­tigt nun 10 · 6 · 5 = 300 Bau­klöt­ze.

4. Beim so­ge­nann­ten Co­oper-Test darf man auf der 400m-Bahn im Leicht­ath­le­tik-Sta­di­on zwölf Mi­nu­ten lang so viele Run­den lau­fen, wie man schafft. Beim Sport­tag der Agen­ten läuft Agent Mü gegen einen deut­lich fit­te­ren Kol­le­gen. Wäh­rend Mü für eine Runde 84 s be­nö­tigt, ist der Kol­le­ge be­reits je­weils nach 72 s wie­der an der Start­li­nie. Er­mitt­le, ob es wäh­rend des Co­oper-Tests pas­siert, dass Mü die Start­li­nie gleich­zei­tig mit sei­nem Kol­le­gen über­quert.

   Nach dem Start wür­den sie erst­mals wie­der die Start­li­nie gleich­zei­tig pas­sie­ren, wenn die Zeit dem kgV ihrer Run­den­zei­ten ent­spricht. Da das kgV(72; 84) = 504 be­trägt, wäre es nach 504 Se­kun­den der Fall. Dies ent­spricht 8 Mi­nu­ten und 24 Se­kun­den, ist also in­ner­halb der 12 Mi­nu­ten eines Co­oper­tests. Somit wird es pas­sie­ren.

5. Der Kel­ler des Agen­ten-Haupt­quar­tiers wurde etwas nied­ri­ger ge­baut als das Erd­ge­schoss. Vom Kel­ler­bo­den zum Erd­ge­schoss­bo­den sind es 2,73 m. Vom Erd­ge­schoss­bo­den zum Boden des ers­ten Ober­ge­schos­ses sind es da­ge­gen 3,15 m. Den­noch ver­bin­det eine Trep­pe den Kel­ler mit dem ers­ten Ober­ge­schoss, deren Stu­fen über­all gleich hoch sind und in allen drei Ge­schos­sen mit dem je­wei­li­gen Boden ohne Ab­satz ab­schlie­ßen. „Damit ist ei­gent­lich klar, wie hoch die ein­zel­nen Stu­fen sind!“, meint Agen­tin Nü. Er­läu­te­re, wes­halb sie in ihrer Aus­sa­ge den Aus­druck „ei­gent­lich klar“ und nicht die Wort­wahl „ein­deu­tig klar“ ver­wen­det.

   Die Trep­pen­hö­he muss ein ge­mein­sa­mer Tei­ler von 273 cm und 315 cm sein, damit die Trep­pen ohne Ver­satz in allen Stock­wer­ken enden.

   

6. * Über­zeu­ge dich von der Rich­tig­keit der fol­gen­den Aus­sa­ge mit­hil­fe ei­ni­ger selbst­ge­wähl­ter Bei­spie­le und be­grün­de dann, dass sie all­ge­mein­gül­tig ist:

   „Das Pro­dukt aus zwei Zah­len ist gleich dem Pro­dukt ihres ggT mit ihrem kgV“

   Unten sind zwei Zah­len in ihre Prim­fak­to­ren zer­legt, die dann spal­ten­wei­se sor­tiert wur­den. Man be­rech­net das kgV, indem man aus jeder Spal­te einen Fak­tor aus­wählt. Da­durch hat man jede Spal­te die nur ein­mal „be­setzt“ ist kom­plett über­nom­men. Aus jeder voll­stän­dig be­setz­ten Spal­te hat man da­ge­gen nur einen der bei­den über­ein­an­der­ste­hen­den Fak­to­ren ver­wen­det.

   Den ggT er­hält man je­doch ge­ra­de als Pro­dukt die­ser füs kgV „nicht ver­wen­de­ten“ Fak­to­ren, da er aus jeder voll­stän­dig be­setz­ten Spal­te je­weils einen Fak­tor ent­hält.

   Somit ist das Pro­dukt aus kgV und ggT gleich dem Pro­dukt aus den bei­den Zah­len.

   

kgV und ggT – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [odt][2 MB]

kgV und ggT – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [pdf][463 KB]

Wei­ter zu Der Eu­kli­di­sche Al­go­rith­mus