Wie­der­ho­lung aus Klas­se 7 – Sätze und Kehr­sät­ze be­grün­den

Stun­den 1 und 2

In den ers­ten bei­den Stun­den sol­len die Grund­la­gen aus Klas­se 7 wie­der­holt und aus dem Blick­win­kel der Aus­sa­gen­lo­gik prä­zi­siert wer­den. Dazu lie­fern die ak­tu­el­len Lehr­wer­ke für Klas­se 7 eine brei­te Aus­wahl an ge­eig­ne­ten Auf­ga­ben, wes­halb hier kein zu­sätz­li­ches Ma­te­ri­al er­for­der­lich ist für die ers­ten bei­den Stun­den. Dabei geht es in­halt­lich um die Ak­ti­vie­rung der Kennt­nis­se zur Ach­sen- und Punkt­spie­ge­lung, ins­be­son­de­re um deren Sym­me­trie­ei­gen­schaf­ten, die zu­nächst in der ers­ten Stun­de an ge­eig­ne­ten Bei­spie­len wie­der­holt wer­den müs­sen. Sie bil­den die Be­grünsungs­ba­sis für die wei­te­ren Sätze und Kehr­sät­ze, die be­han­delt wer­den.

Zur Fo­kus­sie­rung der aus­sa­gen­lo­gi­schen Grund­la­gen soll­ten Aus­sa­gen be­trach­tet, Sätze (Fol­ge­run­gen) und Kehr­sät­ze ge­bil­det und ihr Wahr­heits­ge­halt ge­prüft wer­den. Wich­tig ist die Be­trach­tung von wah­ren Sät­zen (Fol­ge­run­gen / Im­pli­ka­tio­nen), deren Kehr­sät­ze falsch sind (bzw. von fal­schen Sät­zen mit wah­ren Kehr­sät­zen). Es bie­tet sich an, zu­nächst auf be­kann­te Zu­sam­men­hän­ge zu­rück­zu­grei­fen, um auch wie oben er­wähnt die In­hal­te aus Klas­se 7 zu wie­der­ho­len. So kön­nen die SuS z.B. Ei­gen­schaf­ten von Drei­ecken oder Vier­ecken be­trach­ten,

z.B. vor­be­rei­tend zum Ba­sis­win­kel­satz (A,B) bzw. zur Um­keh­rung des Satz des Tha­les (C,D):

A⇒B: Wenn ein Drei­eck ach­sen­sym­me­trisch ist, dann sind zwei sei­ner In­nen­win­kel gleich groß. (wahr)

B⇒A: Wenn in einem Drei­eck zwei In­nen­win­kel gleich groß sind, dann ist es ach­sen­sym­me­trisch. (wahr)

C⇒D: Wenn ein Vier­eck ein Recht­eck ist, dann hal­bie­ren sich seine Dia­go­na­len ge­gen­sei­tig. (wahr)

D⇒C: Wenn sich die Dia­go­na­len eines Vier­ecks ge­gen­sei­tig hal­bie­ren, dann ist es ein Recht­eck. (falsch)

Jedes Mal wird es darum gehen, zwi­schen Vor­aus­set­zung und Fol­ge­rung zu un­ter­schei­den und den Wahr­heits­ge­halt der Im­pli­ka­ti­on (Fol­ge­rung) zu be­ur­tei­len. Das „Haus der Vier­ecke“ lie­fert hier z.B. An­knüp­fungs­punk­te und gleich­zei­tig eine gute Basis für die wei­ter­füh­ren­den geo­me­tri­schen Zu­sam­men­hän­ge, die in der Ein­heit in den Blick ge­nom­men wer­den, so z.B. Aus­sa­gen zu Sym­me­trie­ach­sen, Dia­go­na­len, par­al­le­len Sei­ten oder Win­keln ¹, Bei­spie­le:

1. Wenn ein Vier­eck ein Par­al­le­lo­gramm ist, dann hal­bie­ren sich sei­ne­Dia­go­na­len ge­gen­sei­tig.

2. Wenn ein Vier­eck ein Qua­drat ist, dann hat es vier gleich lange Sei­ten.

3. Wenn ein Drei­eck gleich­sei­tig ist, dann be­sitzt es eine Sym­me­trie­ach­se.

4. auch aus an­de­ren Be­rei­chen, z.B.: Wenn eine Zahl durch 3teil­bar ist, dann ist sie durch 6 teil­bar.

Nach die­ser kur­zen Ein­stim­mung kön­nen der Stu­fen- und Wech­sel­win­kel­satz, der Ba­sis­win­kel­satz samt ihren Kehr­sät­zen be­grün­det und pas­sen­de Übungs­auf­ga­ben be­ar­bei­tet wer­den. In den bei­den Stun­den soll­te aber auch die Um­keh­rung des Sat­zes des Tha­les und deren Be­weis in­halt­lich vor­be­rei­tet wer­den. Dazu wer­den ei­ner­seits die geo­me­tri­schen Bei­spie­le zur Um­keh­rung nütz­lich sein (u.a. das 2. Bei­spiel oben!), an­de­rer­seits wer­den Kon­struk­tio­nen mit dem Satz des Tha­les wie­der­holt (Tan­gen­ten an Kreis u.ä.). Hier­zu bie­ten sich pas­sen­de Auf­ga­ben aus den letz­ten Ka­pi­teln der Lehr­wer­ke aus Klas­se 7 an.

Denk­bar wäre es auch, be­reits zu Be­ginn ein DGS wie z.B. Geo­Ge­bra ein­zu­set­zen, um die SuS damit ver­traut zu ma­chen, falls es nicht oh­ne­hin be­reits in Klas­se 7 ver­wen­det wurde. Die In­hal­te sind weit­ge­hend be­kannt und eig­nen sich daher gut für eine Wie­der­ho­lungs­pha­se, die mit der Ein­füh­rung (oder Fort­füh­rung) des DGS kom­bi­niert wer­den könn­te. Man kann aber zu­nächst auch mit Zir­kel und Li­ne­al kon­stru­ie­ren las­sen und das DGS erst spä­ter ins Spiel brin­gen. Für die 5. und 6. Stun­de der Ein­heit wur­den Ma­te­ria­li­en er­stellt, die sich eben­falls für eine Ein- oder Fort­füh­rung von Geo­Ge­bra eig­nen.

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Wei­ter zu Satz des Tha­les