Zur Haupt­na­vi­ga­ti­on sprin­gen [Alt]+[0] Zum Sei­ten­in­halt sprin­gen [Alt]+[1]

Das Fer­mat‘sche Prin­zip

3. bis 6. Stun­de

Als Ein­stieg wird zu­sam­men­fas­send fest­ge­hal­ten:

Op­ti­sche Phä­no­me­ne kön­nen mit der ge­rad­li­ni­gen Licht­aus­brei­tung, der Re­fle­xi­on und der Bre­chung be­schrie­ben wer­den.

Es folgt eine Dis­kus­si­on über die Ge­set­ze der Licht­aus­brei­tung.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ken­nen das Re­fle­xi­ons­ge­setz. Für die Bre­chung kön­nen sie kein Ge­setz an­ge­ben.

Fer­mat hat um 1650 ein Prin­zip ge­fun­den, dass das Ver­hal­ten des Lichts ein­leuch­tend dar­stellt.

Das Fer­mat‘sche Prin­zip

Von allen mög­li­chen Wegen, die das Licht neh­men könn­te, um von einem Punkt zu einem an­de­ren Punkt zu ge­lan­gen, nimmt es den Weg, der die kür­zes­te Zeit er­for­dert.

Das Fluch­ten über einen krum­men Be­sen­stiel dient als Ein­stieg zur ge­rad­li­ni­gen Lichtaus­breitung. Für die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ist es pau­si­bel, dass dies der schnells­te Weg ist.

Fer­mat und die ge­rad­li­ni­ge Licht­aus­brei­tung

Licht brei­tet sich von Punkt zu Punkt ge­rad­li­nig aus. Dies ist der kür­zes­te Weg, der auch die kür­zes­te Zeit er­for­dert.

Mit einem Per­spek­tiv­wech­sel kann das Fer­mat‘sche Prin­zip für die Schü­le­rin­nen und Schü­ler an­schau­li­cher un­ter­rich­tet wer­den. Wir un­ter­su­chen zu­erst Lauf­we­ge an Land und im Was­ser.

Zeitlineal

Abb. 11: Zeit­li­ne­al, v. Har­ten er­stellt mit Veusz 2.2.1 u. gimp 2.8.22

Ein ein­fa­cher Zu­gang ge­lingt mit einem Zeit­li­ne­al. Die be­nö­tig­te Zeit kann di­rekt ab­ge­le­sen wer­den.

Zu­satz:

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­stel­len ein Zeit­li­ne­al. Je nach­dem, wel­che Kom­pe­ten­zen man stär­ken möch­te, kann dies mit Blei­stift oder mit einem Com­pu­ter rea­li­siert wer­den.

Als nächs­tes wird die Re­fle­xi­on mit einem Ar­beits­blatt un­ter­sucht. Für vor­ge­ge­be­ne Stre­cken wird der Weg mit der kür­zes­ten Zeit er­mit­telt.

00_ou­b_­ko­pier­vor­la­ge_zeit­li­ne­al

01_ou­b_a­b_­fer­ma­t_­re­fle­xi­on_zeit­li­ne­al

Ein­falls­win­kel und Re­fle­xi­ons­win­kel wer­den be­stimmt und ver­gli­chen.

02_ou­b_a­b_­fer­ma­t_­re­fle­xi­on_win­kel

Die vor­ge­ge­be­nen Stre­cken sind eine di­dak­ti­sche Re­duk­ti­on. Alle mög­li­chen Wege müs­sen un­ter­sucht wer­den. Als Ver­tie­fung oder Dif­fe­ren­zie­rung bie­tet sich hier ein geo­me­tri­scher Nach­weis an.

03_ou­b_a­b_­fer­ma­t_­re­fle­xi­on_­geo­me­trie

Fer­mat und die Licht­re­fle­xi­on

Bei der Re­fle­xi­on gilt das Re­fle­xi­ons­ge­setz. Der Licht­weg ist der kür­zes­te Weg und auch der Weg mit der kür­zes­ten Zeit.

Heron von Alex­an­dria (Heron-Ver­fah­ren) soll schon vor 2000 Jah­ren ge­zeigt haben, dass das Licht bei der Re­fle­xi­on den kür­zes­ten Weg nimmt.

Warum for­mu­lier­te Fer­mat sein Prin­zip mit dem Weg mit der kür­zes­ten Zeit?

Bei der Bre­chung wird der schnells­te Weg am Bei­spiel Land/Was­ser mit einem Zeit­li­ne­al er­mittelt. Das Ge­schwin­dig­keits­ver­hält­nis an Land und im Was­ser ent­spricht dem Ver­hält­nis der Licht­geschwindigkeiten in Luft und Glas (n = 1,5).

04_ou­b_a­b_­fer­ma­t_bre­chun­g_zeit­li­ne­al

Den Schü­le­rin­nen und Schü­lern wird mit­ge­teilt, dass das Ge­schwin­dig­keits­ver­hält­nis dem von Luft und Glas ent­spricht. Sie sol­len den Ein­falls­win­kel und den Bre­chungs­win­kel be­stim­men und mit dem ent­spre­chen­den Bre­chungs­dia­gramm ver­glei­chen.

05_ou­b_a­b_­fer­ma­t_bre­chun­g_win­kel

06_ou­b_­ko­pier­vor­la­ge_bre­chungs­dia­gramm

Fer­mat und die Licht­bre­chung

Bei der Bre­chung ist der Licht­weg nicht der kür­zes­te Weg. Es ist der Weg mit der kür­zes­ten Zeit.

Auch hier sind die vor­ge­ge­be­nen Stre­cken eine di­dak­ti­sche Re­duk­ti­on. Alle mög­li­chen Wege müs­sen un­ter­sucht wer­den. Eine ex­ak­te Her­lei­tung (Ex­trem­wert­auf­ga­be) ist in die­ser Klas­sen­stu­fe nicht mög­lich. Für wei­te­re Weg­be­rech­nun­gen kann ein Com­pu­ter ein­ge­setzt wer­den.

Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on

Fer­ma­t_Bre­chung.ods

Scratch-Pro­gramm

Fer­ma­t_Bre­chung.sb2

Durch Ver­schie­ben der grü­nen Fahne in der Mitte der Bühne kann der Ein­falls­win­kel ver­än­dert wer­den (Pfeil­tas­ten). Der Zeit­mes­ser i zeigt die be­nö­tig­te Zeit an. Mit der Leer­tas­te be­ginnt die Zeit­mes­sung. Auf diese Weise kann der kür­zes­te Weg be­stimmt wer­den.

Zu­satz:

Als Ver­tie­fung kön­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler den Al­go­rith­mus auf­stel­len und pro­gram­mie­ren.

An­wen­dun­gen des Fer­mat‘schen Prin­zip

5. Stun­de

Die Um­kehr­bar­keit des Licht­we­ges ist eine ein­fa­che Fol­ge­rung aus dem Prin­zip.

Aus dem Prin­zip von Fer­mat folgt die Um­kehr­bar­keit des Licht­we­ges.

Zwei wei­te­re An­wen­dun­gen kön­nen mit einem Ar­beits­blatt er­ar­bei­tet wer­den.

1.

Der Licht­weg durch einen Glas­kör­per mit plan­par­al­le­len Flä­chen soll mit dem Prin­zip qua­li­ta­tiv er­mit­telt wer­den.

2.

Warme Luft hat eine ge­rin­ge­re Dich­te als käl­te­re Luft. Ent­spre­chend grö­ßer ist die Licht­ge­schwin­dig­keit in der wär­me­ren Luft. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kön­nen mit die­ser In­for­ma­ti­on auch eine Luft­spie­ge­lung er­läu­tern.

Den Schü­le­rin­nen und Schü­lern wer­den die Auf­ga­ben auf dem Ar­beits­blatt mit der neuen Denk­wei­se nicht leicht­fal­len. Ein Leh­rer-Schü­ler-Ge­spräch ist eine sinn­vol­le Al­ter­na­ti­ve.

07_ou­b_a­b_­fer­ma­t_­an­wen­dun­gen

Zu­satz:

Auf­grund der ab­neh­men­den Luft­dich­te wird die Licht­ge­schwin­dig­keit in der At­mo­sphä­re mit stei­gen­der Höhe immer grö­ßer. Damit las­sen sich Son­nen­un­ter­gangsphä­no­me­ne (z.B. ver­meint­li­cher Son­nen­stand) er­klä­ren.

An Hand eines el­lip­ti­schen Spie­gels mit sei­nen zwei Brenn­punk­ten kann die El­lip­se ein­ge­führt wer­den, die eine zen­tra­le Rolle bei den Pla­ne­ten­be­we­gun­gen spielt.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler sol­len nach dem Bil­dungs­plan die Form einer Sam­mel­lin­se mit­hil­fe des Fer­mat'schen Prin­zips qua­li­ta­tiv er­klä­ren kön­nen.

08_ou­b_a­b_­fer­ma­t_­sam­mel­lin­se

Hier kann man auch das Scratch­pro­gramm fer­ma­t_­sam­mel­lin­se ein­set­zen.

fer­ma­t_­sam­mel­lin­se.sb2

Hier ver­än­dern die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die Brei­te der Lin­sen­blö­cke der­art, dass die Teil­strah­len sich im vor­ge­se­he­nen Punkt tref­fen.

Aus­blick

Am Ende die­ser Ein­heit regt man eine Dis­kus­si­on über das neue Kon­zept an.

Als Im­puls kann man die These, dass alle Phä­no­me­ne auch ohne Fer­mat er­klärt wer­den könn­ten, ein­wer­fen.

Im Ge­gen­satz zur geo­me­tri­schen Optik kann man Vor­aus­sa­gen über die Licht­ge­schwin­dig­keit in ver­schie­de­nen op­ti­schen Me­di­en ma­chen.

Schü­ler­fra­gen, woher das Licht weiß, wel­cher Weg der schnells­te Weg ist, kön­nen hier nicht be­ant­wor­tet wer­den. Eine Ant­wort dazu gibt die Quan­ten­phy­sik. Die Phy­sik bleibt für die Schü­le­rin­nen und Schü­ler span­nend.

An­de­re Ver­fah­ren

Stre­cken­mes­sung statt Zeit­li­ne­al

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler sind in der Lage über die For­mel die Lauf­zei­ten zu be­rech­nen.

Scratch

Bei Scratch kann ein Ob­jekt in eine be­stimm­te Rich­tung in x-er Schrit­ten gehen. Die Schritt­län­ge ist un­ab­hän­gig von der Rich­tung.

Am Strand kann z.B. mit 3-er Schrit­ten und im Was­ser mit 2-er Schrit­ten ge­lau­fen wer­den . D.h. die Ge­schwin­dig­kei­ten ste­hen im Ver­hält­nis 3:2. Die An­zahl der Schrit­te ist damit pro­por­tio­nal zur Zeit.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler soll­ten nach dem In­for­ma­tik­un­ter­richt in Klas­se 7 in der Lage sein ein ent­spre­chen­des Pro­gramm zu er­stel­len.

Siehe Fer­ma­t_Bre­chung.sb2.

Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on

Im Ma­the­ma­tik­un­ter­richt sol­len die Schü­le­rin­nen und Schü­ler bei der Zins­rech­nung eine Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on ver­wen­den. D.h. die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kön­nen mit einer Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on ar­bei­ten. Sie kön­nen ra­di­zie­ren. Eine Rück­spra­che mit den Ma­the­ma­tik­leh­re­rin­nen und -leh­rern ist zu emp­feh­len. Für die Stre­cken­be­rech­nung muss man den Satz des Py­tha­go­ras vor­ge­ben.

Siehe Fer­ma­t_Bre­chung.ods.

Dy­na­mi­sche-Geo­me­trie-Soft­ware

Hier bie­tet sich z.B. der Ein­satz von Geo­ge­bra an. Für die Stre­cken­län­ge gibt es die Funk­ti­on Ab­stand[Punk­t_1,Punk­t_2].

Siehe Fer­ma­t_Bre­chun­g_­Si­mu­la­ti­on.ggb.

 

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][4,4 MB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][598 KB]

 

Wei­ter zu Die Sam­mel­lin­se