Prüf­sum­men­ver­fah­ren und Pa­ri­täts­prü­fung

Nach der Wie­der­ho­lung be­kann­ter Co­die­run­gen kann in einem Un­ter­richts­ge­spräch dis­ku­tiert wer­den, was pas­sie­ren könn­te, wenn ein Code bei­spiels­wei­se feh­ler­haft (Krat­zer auf einer CD) oder nicht mehr er­kenn­bar bzw. ver­schmutzt ist (Bar­code). Wel­che Re­ak­ti­on kann man an einer Su­per­markt­kas­se er­war­ten, wenn der Scan­ner den EAN-13-Code nicht kor­rekt lesen kann? In der Regel muss der/die Kas­sie­rer/in den Code von Hand ein­ge­ben. Kann man sich dabei ver­tip­pen? Kann es zu Zah­len­dre­hern kom­men? Wird dann ein fal­sches Pro­dukt ein­ge­le­sen wird? Wie kann dies ver­hin­dert wer­den? Idea­ler­wei­se kom­men die Schü­le­rin­nen und Schü­ler auf die Idee, eine Quer­sum­me zu bil­den. Die­ses ist ein sehr ein­fa­ches Ver­fah­ren, hat aber den Nach­teil, dass Zah­len­dre­her nicht er­kannt wer­den kön­nen. Man kann aber diese Idee auf­grei­fen und zum Ar­beits­blatt 01_­duc_a­b_pru­ef­sum­me_pru­ef­bit über­lei­ten.

1. Prüf­sum­men­ver­fah­ren am Bei­spiel der EAN-13-Co­die­rung

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler sol­len hier­bei an­hand der ge­ge­be­nen Bei­spie­le zwei­er EAN-13-Codes die Be­rech­nung der Prüf­sum­me selbst er­ken­nen.

Die Prüf­sum­me eines EAN-13-Codes wird wie folgt be­rech­net: Jede der ers­ten 12 Zif­fern wird ab­wech­selnd mit dem Fak­tor 1 und dem Fak­tor 3 mul­ti­pli­ziert. An­schlie­ßend wird auf­sum­miert und von die­sem Er­geb­nis zur nächs­ten Zeh­ner­zahl er­gänzt. Dies ist die so­ge­nann­te Prüf­zif­fer. Eine Mo­du­lo-Rech­nung wird an die­ser Stel­le nicht er­war­tet.

Da der EAN-13-Code auf fast allen Schul­ma­te­ria­li­en wie Blei­stif­te, Ra­dier­gum­mis, Schul­hef­te,… zu fin­den ist, kön­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler an die­ser Stel­le ex­pe­ri­men­tie­ren und prü­fen. Bei­spiels­wei­se kann auf der In­ter­net­sei­te https://​www.​pru­ef­zif­fer.​de/​ean­test.​php4 (letz­ter Auf­ruf: 23.4.2018) ein EAN-13-Code va­li­diert und zu den ers­ten 12 Zif­fern eines EAN-13-Codes die feh­len­de Prüf­zif­fer be­rech­net wer­den.

In­ter­es­sant ist auch, dass bei der UIC-Kenn­zeich­nung der Trieb­fahr­zeu­ge auch ein Prüf­sum­men­ver­fah­ren ein­ge­setzt wird. Al­ler­dings wird hier­bei ab­wech­selnd mit den Fak­to­ren 1 und 2 mul­ti­pli­ziert. Von den ge­wich­te­ten Sum­man­den wer­den nun al­ler­dings ihre Zif­fern ad­diert.

Für die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kann auch die Co­die­rung der Stri­che beim EAN-Strich­code in­ter­es­sant sein. Hier­bei wird jede Zif­fer durch ein Modul be­ste­hend aus sie­ben ver­ti­ka­len gleich gro­ßen Ab­schnit­ten dar­ge­stellt. Die Ab­schnit­te wer­den nach einer Co­die­rungs­vor­schrift ent­spre­chend schwarz und weiß ein­ge­färbt.

Güte der Ver­fah­ren mit Bei­spie­len: Beim ein­fa­chen Quer­sum­men­ver­fah­ren wird zur Be­rech­nung der Prüf­zif­fer zu einer Zif­fern­fol­ge zu­nächst die Quer­sum­me der Zif­fern die­ser Zif­fern­fol­ge ge­bil­det und an­schlie­ßend zur nächs­ten Zeh­ner­zahl er­gänzt.

Bei­spiel: Der Zif­fern­fol­ge 12345 wird dem­nach die Prüf­zif­fer 5 an­ge­hängt, da 1+2+3+4+5=15 ist und 15 mit 5 bis zur nächs­ten Zeh­ner­zahl 20 er­gänzt wird. Somit lau­tet die Zif­fern­fol­ge in­klu­si­ve der Prüf­zif­fer 123455.

Da aber jede an­de­re Rei­hen­fol­ge die­ser Zif­fern wie 54321 oder 15243 auch zur glei­chen Prüf­zif­fer 5 führt, kön­nen mit die­sem Ver­fah­ren zwar Ein­zel­feh­ler, die sehr häu­fig vor­kom­men, er­kannt wer­den, je­doch keine Zah­len­dre­her, die ge­nau­so oft als Feh­ler vor­kom­men.

Um auch Zah­len­dre­her als Feh­ler er­ken­nen zu kön­nen, wer­den im ein­fa­chen Fall die Zif­fern ab­wech­selnd mit zwei un­ter­schied­li­chen Fak­to­ren ge­wich­tet. An­schlie­ßend wird wie­der auf­sum­miert und zur nächs­ten Zeh­ner­zahl er­gänzt. Somit wird er­reicht, dass die meis­ten Zah­len­dre­her auf­ge­deckt wer­den kön­nen. Je­doch gibt es auch hier Ein­zel­fäl­le, bei denen die Feh­ler­er­ken­nung den­noch nicht ge­lingt.

Bei­spiel: Die zu be­trach­ten­de Zif­fern­fol­ge lau­tet 1678 und es sol­len die Ge­wich­te 3 und 1 ver­wen­det wer­den. Die ge­wich­te­te Quer­sum­me be­trägt 3 ∙ 1 + 1 ∙ 6 + 3 ∙ 7 + 1 ∙ 8 = 38. Dem­nach ist die Prüf­zif­fer 2. Es wer­den nun die ers­ten bei­den Zif­fern der Zif­fern­fol­ge ver­tauscht, so­dass nun die feh­ler­haf­te Zif­fern­fol­ge 6178 lau­tet. Die ge­wich­te­te Quer­sum­me be­trägt in die­sem Fall 3 ∙ 6 + 1 ∙ 1 + 3 ∙ 7 + 1 ∙ 8 = 48 und somit ist die Prüf­zif­fer wie­der 2 und der Feh­ler wird nicht er­kannt.

Mit­hil­fe zah­len­theo­re­ti­scher Kennt­nis­se kön­nen der­ar­ti­ge Ver­fah­ren noch wei­ter ver­bes­sert wer­den.

2. Pa­ri­täts­prü­fung (Pa­ri­täts­bit)

Die Pa­ri­täts­prü­fung ist ein Ver­fah­ren zur Feh­ler­er­ken­nung, das auf bi­nä­ren Codes ba­siert. Hier­bei wird zu einer zu über­tra­gen­den Bit­fol­ge als Prüf­bit ein so­ge­nann­tes Pa­ri­täts­bit an­ge­hängt. Ist eine ge­ra­de Pa­ri­tät ver­ein­bart, so muss nach An­hän­gen des Pa­ri­täts­bits die Summe aller Bits (in­klu­si­ve des Pa­ri­täts­bits) ge­ra­de sein. Ist eine un­ge­ra­de Pa­ri­tät ver­ein­bart, gilt ent­spre­chend, dass die Summe aller Bits un­ge­ra­de sein muss. Ent­spricht die Bit­sum­me nicht der vor­ge­ge­be­nen Pa­ri­tät, so liegt ein Über­tra­gungs­feh­ler vor. Sind al­ler­dings zwei Bits feh­ler­haft, so kann dies nicht zu­ver­läs­sig er­kannt wer­den. Um­ge­kehrt kann man daher auch nicht aus­schlie­ßen, dass eine schein­bar kor­rekt über­tra­ge­ne Bit­fol­ge feh­ler­frei ist. Eine Dis­kus­si­on dar­über kann bei Auf­ga­be 7 und 8 ge­führt wer­den.

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][408 KB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][1 MB]

Wei­ter zu Das XO-Spiel