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Das kleins­te ge­mein­sa­me Viel­fa­che – kgV

Wenn Agent Mü 12 Mi­nu­ten für einen Rund­gang be­nö­tigt und Agen­tin Nü 28 Mi­nu­ten, dann tref­fen sie erst­mals nach 84 Mi­nu­ten wie­der im Wach­raum auf­ein­an­der. Agent Mü hat dann sie­ben Run­den „ge­dreht“, wäh­rend Nü drei­mal un­ter­wegs war. Ma­the­ma­tisch be­trach­tet ist die Zahl 84 das Sie­ben­fa­che von 12 und das Drei­fa­che von 28. Sie ist somit ein Viel­fa­ches von 12 und ein Viel­fa­ches von 28. Eine sol­che Zahl nennt man ge­mein­sa­mes Viel­fa­ches von 12 und 28. Auf der Suche nach wei­te­ren ge­mein­sa­men Viel­fa­chen von 12 und 28 fin­det man bei­spiels­wei­se die Zah­len 168 und 252. Man fin­det je­doch keine klei­ne­re Zahl als 84 als ge­mein­sa­mes Viel­fa­ches von 12 und 28. Des­halb nennt man die Zahl 84 das kleins­te ge­mein­sa­me Viel­fa­che von 12 und 28, kurz das kgV(12; 28). Das kleins­te ge­mein­sa­me Viel­fa­che darf dabei auch die grö­ße­re der bei­den Zah­len sein, so ist zum Bei­spiel kgV(12; 24) = 24.

Auf­trä­ge:

  1. Be­stim­me die fol­gen­den kleins­ten ge­mein­sa­men Viel­fa­chen:

    a.) kgV(6; 7)

    b.) kgV(12; 18)

    c.) kgV(14; 18)

    d.) kgV(84; 102)

  2. Die Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen meh­re­rer Zah­len las­sen sich ge­schickt ver­glei­chen, wenn man glei­che Prim­fak­to­ren un­ter­ein­an­der schreibt, z.B. für die Zah­len 300 und 630 so:

    Bildschirmfoto Faktorzerlegung

    a.) Führe dies für die Zah­len aus Auf­ga­be 1 durch. Schrei­be dazu für jede Teil­auf­ga­be die Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen der bei­den Zah­len und des kgV in drei Zei­len un­ter­ein­an­der. Über­le­ge dir eine Regel, wie man aus den Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen der bei­den Zah­len auf deren kgV kom­men kann, und schrei­be sie auf.

    b.) Über­prü­fe deine Regel an wei­te­ren Zah­len­paa­ren und deren kgV.

    c.) Be­stim­me das kgV(9000; 41580) mit

    9000 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 und

    41580 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

  3. Agent Mü muss mal wie­der einen Tre­sor kna­cken. Da­zu­muss er eine Zahl auf einem Zif­fern­feld ein­ge­ben. Die­Ein­ga­be­zahl lässt ein klei­nes Zah­len­rad genau so oft um sich­selbst dre­hen. Der Tre­sor geht auf, wenn sich da­durch das­gro­ße Zah­len­rad wie­der an der glei­chen Po­si­ti­on wie vor der­Ein­ga­be be­fin­det. Was muss er ein­ge­ben?

Zeichnung Tresor

Quel­le: ZPG IMP

  1. * „Das kgV kann bei der Ad­di­ti­on und Sub­trak­ti­on von Brü­chen sehr hilf­reich sein.“

    Wie ist diese Aus­sa­ge ge­meint? Führe zu­nächst ei­ni­ge Bei­spiel­ad­di­tio­nen von Brü­chen durch. Über­le­ge dabei: Wie kann das kgV wel­cher Zah­len ge­schickt ein­ge­setzt wer­den? Wie kann / würde man ohne die Kennt­nis die­ses kgV vor­ge­hen? For­mu­lie­re dann eine Vor­ge­hens­wei­se zur Ad­di­ti­on und Sub­trak­ti­on von Brü­chen, in der das kgV (ge­schickt) ein­ge­setzt wird.

 

 

kgV und ggT: Her­un­ter­la­den [odt][2 MB]

kgV und ggT: Her­un­ter­la­den [pdf][435 KB]

 

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