Der größ­te ge­mein­sa­me Tei­ler – ggT

Die Por­tio­nen in der Agen­ten­kan­ti­ne sind 90 oder 126 Fleisch­bäll­chen. Ver­gleicht man die Tei­ler­men­gen der bei­den Zah­len, so fin­det man ei­ni­ge Tei­ler, die in bei­den Tei­ler­men­gen vor­kom­men, die so­ge­nann­ten ge­mein­sa­men Tei­ler (im Fol­gen­den in Fett­druck dar­ge­stellt).

Die 18 ist dar­un­ter der größ­te ge­mein­sa­me Tei­ler, der ggT(90; 126). Wenn die Pa­ckungs­grö­ße des Ko­ches 18 be­trägt, so kann er für die 90-er Por­ti­on fünf ganze Tüten ver­wen­den und für die 126-er Por­ti­on be­nö­tigt er sie­ben Tüten. Das ist die best­mög­li­che Va­ri­an­te, wenn er keine ein­zel­nen Bäll­chen ab­zäh­len möch­te (also dass nur ganz­zah­lig viele Tüten für beide Por­ti­ons­grö­ßen ver­wen­det wer­den) und er dabei mög­lichst we­ni­ge Tüten ins­ge­samt be­nö­tigt.

Der größ­te ge­mein­sa­me Tei­ler darf dabei auch die klei­ne­re der bei­den Zah­len sein, so ist ggT(12; 24) = 12. Für den Fall, dass die Zah­len außer der 1 kei­nen ge­mein­sa­men Tei­ler haben, der ggT also 1 ist, nennt man sie teiler­fremd. So sind zum Bei­spiel 6 und 13 teiler­fremd, da ggT(6; 13) = 1.

Auf­trä­ge

1. Be­stim­me die fol­gen­den größ­ten ge­mein­sa­men Tei­ler:

   a.) ggT(12; 18)

   b.) ggT(15; 45)

   c.) ggT(64; 96)

   d.) ggT(65; 91)

2. Die Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen meh­re­rer Zah­len las­sen sich ge­schickt ver­glei­chen, wenn man glei­che Prim­fak­to­ren un­ter­ein­an­der schreibt, z.B. für die Zah­len 300 und 630 so:

   

   a.) Führe dies für die Zah­len aus Auf­ga­be 1 durch. Schrei­be dazu für jede Teil­auf­ga­be die Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen der bei­den Zah­len und des ggT in drei Zei­len un­ter­ein­an­der. Über­le­ge dir eine Regel, wie man aus den Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen der bei­den Zah­len auf deren ggT kom­men kann, und schrei­be sie auf.

   b.) Über­prü­fe deine Regel an wei­te­ren Zah­len­paa­ren und deren ggT.

   c.) Be­stim­me den ggT(9000; 41 580) mit

   9000 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 und

   41580 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

3. Der recht­ecki­ge Bal­kon des Agen­ten-Haupt­quar­tiers soll einen neuen Bo­den­be­lag aus mög­lichst gro­ßen, qua­dra­ti­schen Flie­sen be­kom­men. Dabei soll keine Flie­se zer­teilt wer­den. Wie groß soll­ten die Flie­sen sein, wenn der Bal­kon 6,75m breit und 3,60m tief ist?

4. * „Der ggT kann beim Kür­zen von Brü­chen sehr hilf­reich sein.“

   Wie ist diese Aus­sa­ge ge­meint? Führe zu­nächst ei­ni­ge Ver­su­che an kürz­ba­ren Brü­chen durch. Über­le­ge dabei: Wie kann der ggT von Zäh­ler und Nen­ner ge­schickt ein­ge­setzt wer­den? Wie kann / würde man ohne die Kennt­nis die­ses ggT vor­ge­hen? For­mu­lie­re dann eine Vor­ge­hens­wei­se zum Kür­zen von Brü­chen, in der der ggT ein­ge­setzt wird. Ver­glei­che dann die bei­den Vor­ge­hens­wei­sen (Kür­zen mit / ohne Er­mitt­lung des ggT).

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Wei­ter zu Wei­te­re Übun­gen zu kgV und ggT