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Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln: Sum­men und Pro­duk­te

Zeichnung zum Teiler 6

Quel­le: ZGP IMP

Die Teil­bar­keits­re­gel zum Tei­ler 6 ist ei­gent­lich keine ei­ge­ne Regel, son­dern nutzt aus, dass in der 6 die Tei­ler 2 und 3 „ver­steckt“ sind. Sol­che Ver­ste­cke we­cken na­tür­lich das In­ter­es­se un­se­rer Agen­ten. Lei­der sind aber nicht alle in die­ser Art ge­bil­de­ten Aus­sa­gen rich­tig. Kannst du ihnen hel­fen, die rich­ti­gen Aus­sa­gen her­aus­zu­fin­den?

Deine Auf­trä­ge:

  1. a.) Von den fol­gen­den Aus­sa­gen sind man­che rich­tig, man­che falsch. Wi­der­le­ge jede der fal­schen Aus­sa­gen durch ein Ge­gen­bei­spiel.

    A. Eine Zahl ist durch 15 teil­bar, wenn sie durch 3 und durch 5 teil­bar ist.

    RICH­TIG

    B. Eine Zahl ist durch 8 teil­bar, wenn sie durch 2 und durch 4 teil­bar ist.

    FALSCH, z.B. die 12 ist durch 2 und durch 4, nicht aber durch 8 teil­bar.

    C. Eine Zahl ist durch 12 teil­bar, wenn sie durch 3 und durch 4 teil­bar ist.

    RICH­TIG

    D. Eine Zahl ist durch 12 teil­bar, wenn sie durch 2 und durch 6 teil­bar ist.

    FALSCH, z.B. die 18 ist durch 2 und durch 6 teil­bar, nicht aber durch 12.

    E. Eine Zahl ist durch 18 teil­bar, wenn sie durch 3 und durch 6 teil­bar ist.

    Falsch, z.B. die 12 ist durch 3 und 6 teil­bar, nicht aber durch 18

    F. Eine Zahl ist durch 18 teil­bar, wenn sie durch 2 und durch 9 teil­bar ist.

    RICH­TIG

    G. Eine Zahl ist durch 30 teil­bar, wenn sie durch 6 und durch 5 teil­bar ist.

    RICH­TIG

    H. Eine Zahl ist durch 30 teil­bar, wenn sie durch 10 und durch 3 teil­bar ist.

    RICH­TIG

    b.) Be­trach­te die üb­ri­gen, rich­ti­gen Aus­sa­gen und ver­glei­che sie mit den fal­schen. Be­schrei­be, in wel­chen Fäl­len diese Art von Re­gel­sys­te­ma­tik funk­tio­niert.

    Die Re­gel­sys­te­ma­tik funk­tio­niert, wenn die bei­den zu prü­fen­den Teil­bar­kei­ten keine ge­mein­sa­men Tei­ler (außer der Zahl 1) haben.

    c.)* Die rich­ti­gen Re­geln aus a.) kannst du nun ver­wen­den. Be­schrei­be mit ihrer Hilfe wei­te­re Re­geln, zum Bei­spiel für die Teil­bar­keit durch 60 .

    Eine Zahl ist durch 60 teil­bar, wenn sie durch 4 und durch 15 teil­bar ist. (oder durch 5 und durch 12)

  2. Von einer Zahl x ist nur be­kannt, dass sie durch 24 teil­bar ist. Wel­che an­de­ren Tei­ler von x kannst du dar­aus ab­lei­ten? Schrei­be so viele wie mög­lich auf.

    Wei­te­re Tei­ler sind alle Tei­ler der Zahl 24, also 1, 2, 3, 4, 6, 8 und 12.

Zeichnung Agent mit Primzahl

Quel­le: ZPG IMP

  1. a.) Agent Mü kennt eine schö­ne Prim­zahl: Die 102 356 789. Wenn man diese rück­wärts be­trach­tet, er­gibt sich eben­falls eine Prim­zahl, näm­lich 987 653 201. Sol­che Zah­len nennt man MIRP-Zah­len – wes­halb wohl1? Aber Agent Mü hat ein ganz an­de­res Pro­blem: Er hat 102 356 789 mit 18 mul­ti­pli­ziert und das Er­geb­nis auf­ge­schrie­ben. Lei­der fehlt die letz­te Zif­fer auf sei­nem Blatt. Agen­tin Nü hat zwar kei­nen Ta­schen­rech­ner zur Hand, aber eine Idee: „Wir wis­sen doch, dass eine Zahl die durch 18 teil­bar ist, so­wohl durch 2, als auch durch 9 teil­bar ist. Damit ist die Sache doch klar.“ Was meint sie damit? Er­klä­re ihre Idee und führe sie durch, um die letz­te Zif­fer zu be­stim­men. Die Zahl lau­tet – bis auf die letz­te Zif­fer – 1 842 422 20_ .

    Teil­bar­keit durch 2

    (diese Über­le­gung ist zur Lö­sung letzt­lich un­nö­tig, geht aber se­kun­den­schnell):

    Die letz­te Zif­fer muss ge­ra­de sein, also fal­len die Zif­fern 1, 3, 5, 7 und 9 raus.

    Teil­bar­keit durch 9:

    Die Quer­sum­me muss durch 9 teil­bar sein, sie be­trägt 25 + x. Somit kann die End­zif­fer x nur die 2 sein.

    b.) Wie­der ist die letz­te Zif­fer ver­lo­ren ge­gan­gen. Die­ses Mal wurde 236 be­rech­net. Be­kannt ist nur noch: 236 = 6871947673x. Wel­che der Zif­fern 0 bis 9 kann x sein und wel­che nicht? Gib eine be­grün­de­te Aus­sa­ge über mög­lichst viele der zehn Mög­lich­kei­ten an.

    236 → Di­rekt er­sicht­lich ist: Die Zahl muss durch 2 teil­bar sein. Also kann x nur 0, 2, 4, 6 oder 8 sein.

    Die fol­gen­den bei­den wei­te­ren Lö­sungs­we­ge set­zen ein in­tui­ti­ves Ver­ständ­nis für die Po­tenz­re­chen­ge­set­ze vor­aus. Man kann aber auch durch die Schreib­wei­se aus der ge­schrie­be­nen Mul­ti­pli­ka­ti­on aus 36 Fak­to­ren „2“, die man in 18 „Zwei­er­grüpp­chen“ zu 18 Fak­to­ren „4“ bün­delt. Dies ist si­cher­lich nur in einer ge­führ­ten Ple­nums­pha­se fra­gend-ent­wi­ckelnd, oder von sehr leis­tungs­star­ken Schü­le­rin­nen und Schü­lern durch­führ­bar.

    236 = 418 → Die Zahl muss durch 4 teil­bar sein. Also muss die aus den letz­ten bei­den Zif­fern ge­bil­de­te Zahl „3x“ durch 4 teil­bar sein. Somit kann es nur die Zif­fer 2 oder die 6 sein.

    236 = 418 = 89

    → Die Zahl muss durch 8 teil­bar sein. Also muss die aus den letz­ten drei Zif­fern ge­bil­de­te Zahl „73x“ durch 8 teil­bar sein Somit muss es die Zif­fer 6 sein.

    Al­ter­na­tiv kann man über die Zer­le­gung in Prim­fak­to­ren ar­gu­men­tie­ren:

    Abbildung Zerlegung Primfaktoren

    c.)* Die Mul­ti­pli­ka­ti­on aller na­tür­li­chen Zah­len von einer Start­zahl n ab­stei­gend bis zur 1 nennt man Fa­kul­tät und kürzt sie mit n! ab (sprich:“ n Fa­kul­tät“). Zum Bei­spiel ist . Diese Zah­len wer­den schnell groß (z.B. 12! = 479 001 600). Ein WTR kann die Stel­len schon bald nicht mehr voll­stän­dig an­zei­gen2 . Finde den­noch die feh­len­den Zif­fern x und y der fol­gen­den Glei­chung her­aus und er­klä­re dei­nen Lö­sungs­weg:

    35! = 10 333 147 966 386 1x4 929 666 651 337 523 200 000 y00

    Das Pro­dukt 35! be­steht aus 35 Fak­to­ren. Sechs davon be­inhal­ten den Fak­tor 5 ein­mal (5, 10, 15, 20, 30, 35), der Fak­tor 25 be­inhal­tet die 5 sogar zwei­mal. Somit ist der Fak­tor 5 acht­mal im Pro­dukt ent­hal­ten. Der Fak­tor 2 ist noch häu­fi­ger ent­hal­ten, so­dass aus den acht 5ern und acht der 2er genau acht 10er-Fak­to­ren ent­ste­hen. Somit muss die Zahl auf acht Nul­len enden, y ist also 0.

    Au­ßer­dem ist 35! durch alle Zah­len zwi­schen 1 und 35 teil­bar. Dar­un­ter ist auch die 9, deren Teil­bar­keits­re­gel sehr viel­ver­spre­chend ist, da die Quer­sum­me sel­ten Spiel­raum für zwei ver­schie­de­ne Zif­fern be­lässt. Die 11er-Regel ist im Kopf sogar noch ein­fa­cher lös­bar, da die al­ter­nie­ren­de Quer­sum­me klei­ner bleibt.

    Be­grün­dung mit 9er-Regel: Quer­sum­me ist 140 + x. Diese muss durch 9 teil­bar sein, dass ist nur der Fall, wenn x den Wert 4 an­nimmt.

    (wer ge­schick­ter vor­geht, ad­diert nicht alle Zif­fern , son­dern „igno­riert“ 9er und „9er-Päck­chen“)

    Be­grün­dung mit der 11er-Regel: Die al­ter­nie­ren­de Quer­sum­me be­trägt -4. Somit muss die feh­len­de Zif­fer 4 sein.

1 Es gibt auch deut­lich klei­ne­re Mirp-Zah­len, z.B. die 13 ↔ 31. Im In­ter­net kannst du noch mehr davon fin­den.

2 Teste dies - auf den meis­ten Ta­schen­rech­ner­mo­del­len be­fin­det sich die Fa­kul­tät-Funk­ti­on ent­we­der di­rekt als Tas­ten­be­le­gung oder in einem Me­nü­un­ter­punkt, häu­fig mit ! oder x! oder fac ab­ge­kürzt.

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Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [odt][394 KB]

Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [pdf][237 KB]

 

Wei­ter zu Tei­ler­men­gen und Prim­fak­tor­zer­le­gun­gen