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Satz von Vi­via­ni

Der Satz von Vi­via­ni wurde nach dem ita­lie­ni­schen Ma­the­ma­ti­ker Vin­cen­zo Vi­via­ni (1622–1703) be­nannt und ist eine ein­fa­che Aus­sa­ge über gleich­sei­ti­ge Drei­ecke:

Der Satz von Vi­via­ni

Wenn P ein be­lie­bi­ger Punkt im In­nern (oder auf dem Rand) eines gleich­sei­ti­gen Drei­ecks ist, dann ist die Summe der Ab­stän­de von P zu den drei Sei­ten des Drei­ecks kon­stant und ent­spricht der Höhe des gleich­sei­ti­gen Drei­ecks.

Viviani 1

Nach den ers­ten Ent­de­ckun­gen soll die Vor­la­ge nun er­wei­tert wer­den. Da­nach könn­te das Bild un­ge­fähr wie ab­ge­bil­det aus­se­hen. Die Be­feh­le für die Ein­ga­be­zei­le sind kur­siv for­ma­tiert:

  1. „Sta­peln“ der Sei­ten­ab­stän­de über Punkt U

    K=(0,r)

    L=(0,r+s)

    M=(0,r+s+t )

    Werk­zeugleis­te: Viviani 02

    Zeich­ne die Stre­cken UK, KL, LM ein (al­ter­na­tiv ein­ge­ben: Stre­cke(U,K) ...)

  2. Viviani 03

    Werte der „ge­sta­pel­ten Sei­ten­ab­stän­de“ an­zei­gen

    Mar­kie­re die drei neuen Stre­cken, z.B. indem du sie im Al­ge­bra­fens­ter mit ge­drück­ter Strg-Taste nach­ein­an­der an­klickst (al­ter­na­tiv mit ge­drück­ter Shift­tas­te nur n und q), dann wirkt sich die fol­gen­de An­pas­sung auf alle mar­kier­ten Ob­jek­te aus:

    Rechtsklick → Ei­gen­schaf­ten → Grund­ein­stel­lun­gen: „Be­schrif­tung an­zei­gen“ „ Wert“ aus­wäh­len (nur Stre­cken­län­gen wer­den an­ge­zeigt), Fens­ter schlie­ßen

  3. Viviani 04

    Stre­cken ein­zeln mar­kie­ren und wie im Drei­eck fär­ben: r rot, s blau, t grün

    Dazu ent­we­der wie rechts an­ge­deu­tet Werk­zeugleis­te nut­zen oder

    Rechtsklick → Ei­gen­schaf­ten → Farbe (evtl. auch → Dar­stel­lung än­dern)

  4. Viviani 05

    Be­rech­nen und An­zei­gen der Sei­ten­ab­stands­sum­me

    summe=r+s+t ; das neue Ob­jekt er­scheint nur im Al­ge­bra­fens­ter

    Dop­pel­klick auf „Text 2“ links von den ge­sta­pel­ten Höhen, dann statt „Text 2“ ein­ge­ben: „Ab­stands­sum­me =“ , im Aus­wahl­fens­ter „Ob­jek­te“ nach unten scrol­len und das Ob­jekt „summe“ wäh­len , mit OK be­stä­ti­gen

  5. Fer­tig! Alles soll­te funk­tio­nie­ren, ziehe nun an den Punk­ten P und B und be­ob­ach­te …

    Was pas­siert, wenn P z.B. auf dem Rand des Drei­ecks liegt?

Zu­satz­auf­trä­ge zur Vor­be­rei­tung des Be­wei­ses - Ge­stal­tung op­ti­mie­ren

  1. Viviani 06

    Drei­ecke ein­fü­gen und fär­ben (Ein­ga­be­zei­le oder mit Werk­zeug Viel­eck)

    Drei­eck ABP ist be­reits vor­han­den, er­gän­ze die Drei­ecke PBC und APC:

    Viel­eck(P,B,C) ; da­nach mit Maus an­kli­cken und blau fär­ben,

    Viel­eck(A,P,C) ; grün fär­ben, bei allen 3 Teil­d­rei­ecken Farb­in­ten­si­tät er­hö­hen

    Dar­auf ach­ten, dass die Rand­li­ni­en der Teil­d­rei­ecke aus­ge­blen­det blei­ben.

  2. Viviani 07

    Be­schrif­tung der Punk­te aus­blen­den → Rechtsklick → „Be­schrif­tung an­zei­gen“ de­ak­ti­vie­ren , al­ter­na­tiv blaue Krei­se vor dem Ob­jekt­na­men an­kli­cken

  3. Statt „Text 1“ Er­läu­te­rung ein­fü­gen: „Summe der Ab­stän­de von P zu den Sei­ten“

  4. Kon­stru­ie­re die Höhe hc des Drei­ecks ABC (h_c= Senk­rech­te(C,c) / Schnei­de(h_c,c / …)

 

Satz von Vi­via­ni: Her­un­ter­la­den [odt][190 KB]

Satz von Vi­via­ni: Her­un­ter­la­den [pdf][91 KB]

 

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