Entdecken und Beweisen – Lösungen

Erkundung mit individuellen GeoGebra-Dateien

Vermutung: Der Punkt M bewegt sich auf einem Kreis um O.

Beweis: Der rechte Winkel beim Ursprung verändert sich nicht.

Nach der Umkehrung des Satz des Thales liegt der Ursprung als Ecke des rechtwinkligen Dreiecks AOB auf dem Thaleskreis über der Strecke AB.

Beim Gleiten der Strecke gleitet der Thaleskreis mit, der Radius r =MO bleibt dabei konstant.

M bewegt sich also auf einem Kreis um O mit Radius r.
Vor.: Die beiden Kreise schneiden sich in den Punkten B und A, BC und BD sind Durchmesser der beiden Kreise (siehe Bild).

Beh.: C, A und D liegen auf einer Geraden.

Beweis: A liegt auf beiden Kreisen, also auf dem Thaleskreis über der Strecke BC und auf dem Thaleskreis über der Strecke BD. Nach dem Satz des Thales gilt: ∠BAC = 90° und ∠DAB = 90° → ∠CAD = 180°

Da bei A zwei rechte Winkel anliegen, ergibt sich insgesamt ein gestreckter Winkel, die Punkte C, A und D liegen auf einer Geraden.
Die Vereinigungsmenge dieser Dreiecke ist das Innere des Kreises mit Durchmesser AB. Der Winkel γ bei C soll stumpf sein, er muss also größer als 90° sein. Auf dem Kreis mit Durchmesser AB liegen nach dem Satz des Thales alle Eckpunkte C mit γ =90°. C darf also nicht auf, sondern nur im Innern des Kreises liegen.
Da sich die Kreise in A berühren, besitzen sie eine gemeinsame Tangente in A, die die gegebene Tangente BC im Punkt M schneidet (s. unten links). Von M aus sind alle Abschnitte an die beiden Kreise gleich, es gilt also MC=MA=MB, d.h. A liegt auf dem Thaleskreis über BC. A liegt andererseits auf dem Thaleskreis über CD (s. unten rechts). Nach dem Satz des Thales gilt daher ∠BAC = 90° und ∠CAD = 90°, es folgt ∠DAB = 180°. A liegt also auf der Strecke DB.

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