Wei­te­re Be­wei­se – Lö­sun­gen

1. 

   Ge­dreh­te Drei­ecke

   Vor.: BCE und ACD sind gleich­sei­ti­ge Drei­ecke

   Beh.: AB=DE

   Vor­be­mer­kung: Bei einer Dre­hung ver­än­dern sich die Län­gen (und Pro­por­tio­nen) der ge­dreh­ten Figur nicht, man sagt die Dre­hung sei „län­gen­treu“. Wenn es also ge­lingt, eine Dre­hung an­zu­ge­ben, die AB auf DE ab­bil­det, ist damit ge­zeigt, dass AB = DE gilt. Da hier zwei gleich­sei­ti­ge Drei­ecke den ge­mein­sa­men Punkt C be­sit­zen, bie­tet sich eine Dre­hung um 60° um C an.

   Be­weis :

   Das Drei­eck ABC wird um 60° im UZS um C ge­dreht.

   Da nach Vor­aus­set­zung ∠DCA=60° und ∠ECB=60° gilt, wird das Drei­eck ABC dabei auf das Drei­eck DEC ab­ge­bil­det. Da bei der Dre­hun­gen Län­gen er­hal­ten blei­ben, folgt di­rekt DE class="over­li­ne">AB=DE.

   Be­wei­s­prin­zip

   Wenn Ab­bil­dun­gen ver­wen­det wer­den, z.B. wie hier län­gen-, win­kel- und in­haltstreue Kon­gru­enz­ab­bil­dun­gen (Dre­hung, Ach­sen­spie­ge­lung, Par­al­lel­ver­schie­bung oder deren Kom­bi­na­tio­nen), spricht man von ab­bil­dungs­geo­me­tri­schen Be­wei­sen.

2. 

   Gleich­sei­ti­ges Drei­eck

   Vor. : PQS und QRT sind gleich­sei­ti­ge Drei­ecke

   U und V sind Mit­tel­punk­te von RS bzw. PT.

   Beh. : QUV ist ein gleich­sei­ti­ges Drei­eck.

   Be­weis :

   Das Drei­eck SQR wird um 60° gegen den UZS um Q ge­dreht. Da die Drei­ecke PQS und QRT gleich­sei­tig sind, wird SQR dabei auf das Drei­eck PQT ab­ge­bil­det (in der Skiz­ze gelb ge­färbt). Der Mit­tel­punkt U von SR wird dabei auf den Mit­tel­punkt V von PT ab­ge­bil­det.

   Da die Dre­hung Stre­cken­län­gen nicht än­dert, gilt QU = QV, das Drei­eck QUV ist also gleich­schenk­lig. Da ∠UQV=60° gilt, folgt mit dem Ba­sis­win­kel­satz und dem Win­kel­sum­men­satz, dass das Drei­eck QUV gleich­sei­tig ist.

3. Zwei Qua­dra­te

   Vor. : F,G sind Fuß­punk­te der Lote von E bzw. H auf AB.

   Das Drei­eck ABC ist recht­wink­lig bei C.

   CBHI und ACDE sind Qua­dra­te.

   Beh. : FE + GH = AB

   Be­weis :

   Da F und G Lot­fuß­punk­te von E bzw. H auf der Ge­ra­den durch A und B sind, gilt ∠HGB=90° und ∠AFE=90°, die Drei­ecke FAE und BGH sind daher recht­wink­lig.

   Vier­tel­dre­hun­gen um A bzw. B:

   

   BGH wird um 90° gegen den UZS um B und

   Drei­eck FAE wird um 90° im UZS um A ge­dreht.

   H wird bei die­ser Dre­hung um 90° gegen den UZS um B ge­dreht und auf C ab­ge­bil­det, da BHIC nach Vor­aus­set­zung ein Qua­drat ist. E wird um 90° im UZS um A ge­dreht und so eben­falls auf C ab­ge­bil­det, da ACDE ein Qua­drat ist.

   Wegen der rech­ten Win­kel ent­steht ein Recht­eck, bei dem die sich gegen-über­lie­gen­den Sei­ten gleich­lang sind, es gilt daher FE + GH = AB

4. 

   Hal­bier­te Win­kel

   Nach der Um­keh­rung des Satz des Tha­les liegt A auf dem Halb­kreis über BC mit Mit­tel­punkt S, d.h. es gilt: SC=SA=SB. Daher ist das Drei­eck ABS gleich­schenk­lig, die Ba­sis­win­kel bei A und B sind gleich weit (α). Es wird ge­zeigt, dass auch ∠HAC=α gilt: Die bei­den recht­wink­li­gen Drei­ecke ABC und AHC haben den ge­mein­sa­men Win­kel β bei C. Nach dem Win­kel­sum­men­satz für Drei­ecke stim­men sie auch im drit­ten Win­kel α über­ein.

   Da w den Win­kel ∠BAC=90° hal­biert, folgt ε = 45°− α und damit ∠SAH = 2 · ε. Die Win­kel­hal­bie­ren­de von ∠BAC hal­biert also auch den Win­kel ∠SAH.

Hin­wei­se zur Um­set­zung

Zur Vi­sua­li­sie­rung der Zu­sam­men­hän­ge kön­nen die Schrit­te in den zu­ge­hö­ri­gen Geo­Ge­bra-App­lets nach­ein­an­der ein­ge­blen­det wer­den:

zu 1) 04_­geo_a­b_N­r1_hal­bier­te_Win­kel.ggb

zu 2) 04_­geo_a­b_N­r2_­ge­dreh­te_drei­ecke.ggb

zu 3) 04_­geo_a­b_N­r3_gleich­sei­ti­ge­s_drei­eck.ggb

zu 4) 04_­geo_a­b_N­r4_zwei_qua­dra­te.ggb

Es bie­ten sich dabei je nach Si­tua­ti­on der Klas­se ver­schie­de­ne Al­ter­na­ti­ven an, die auf die je­wei­li­ge Lern­grup­pe ab­ge­stimmt wer­den müs­sen, z.B.:

Va­ri­an­te A (offen):

• in Klein­grup­pen ei­gen­stän­di­ge Er­ar­bei­tung von Auf­ga­be 1 mit­App­let in Schü­ler­hand

• Kurze Re­fle­xi­ons­pha­se, Ver­all­ge­mei­ne­rung, Ver­net­zung

• dif­fe­ren­zier­te Übungs­pha­se mit Auf­ga­be 2, 3 (ggf. auch Nr. 4 als­Kon­trast)
  (mit / ohne App­lets in Schü­ler­hand, me­tho­disch auch als Grup­pen­puz­zle denk­bar).

Va­ri­an­te B („halb­of­fen“):

• Ge­mein­sa­me Er­ar­bei­tung von Auf­ga­be 1), Re­fle­xi­on, ggf.​Visuali­sie­rung mit App­let

• dif­fe­ren­zier­te Übungs­pha­se, siehe oben

Va­ri­an­te C (eng ge­führt):

• Ge­mein­sa­me Er­ar­bei­tung von Auf­ga­be 1 mit Si­che­rung, App­let zur­Re­fle­xi­on

• ei­gen­stän­di­ge An­wen­dung / Übung des Prin­zips mit Auf­ga­be 2(mit/ohne App­let)

• falls Zeit: Ge­mein­sa­me Ver­tie­fung mit Nr 3 (Ver­tie­fung)

Bei allen Va­ri­an­ten kann Auf­ga­be 4 zur Dif­fe­ren­zie­rung / Wie­der­ho­lung ein­ge­setzt wer­den, da hier noch­mals Win­kel­be­trach­tun­gen in er­wei­ter­tem Kon­text ge­fragt sind.

Wei­te­re Be­wei­se – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [odt][318 KB]

Wei­te­re Be­wei­se – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [pdf][192 KB]

Wei­ter zu Prä­sen­ta­tio­nen