Weitere Beweise – Lösungen

1. 

   Gedrehte Dreiecke

   Vor.: BCE und ACD sind gleichseitige Dreiecke

   Beh.: AB=DE

   Vorbemerkung: Bei einer Drehung verändern sich die Längen (und Proportionen) der gedrehten Figur nicht, man sagt die Drehung sei „längentreu“. Wenn es also gelingt, eine Drehung anzugeben, die AB auf DE abbildet, ist damit gezeigt, dass AB = DE gilt. Da hier zwei gleichseitige Dreiecke den gemeinsamen Punkt C besitzen, bietet sich eine Drehung um 60° um C an.

   Beweis :

   Das Dreieck ABC wird um 60° im UZS um C gedreht.

   Da nach Voraussetzung ∠DCA=60° und ∠ECB=60° gilt, wird das Dreieck ABC dabei auf das Dreieck DEC abgebildet. Da bei der Drehungen Längen erhalten bleiben, folgt direkt DE class="overline">AB=DE.

   Beweisprinzip

   Wenn Abbildungen verwendet werden, z.B. wie hier längen-, winkel- und inhaltstreue Kongruenzabbildungen (Drehung, Achsenspiegelung, Parallelverschiebung oder deren Kombinationen), spricht man von abbildungsgeometrischen Beweisen.

2. 

   Gleichseitiges Dreieck

   Vor. : PQS und QRT sind gleichseitige Dreiecke

   U und V sind Mittelpunkte von RS bzw. PT.

   Beh. : QUV ist ein gleichseitiges Dreieck.

   Beweis :

   Das Dreieck SQR wird um 60° gegen den UZS um Q gedreht. Da die Dreiecke PQS und QRT gleichseitig sind, wird SQR dabei auf das Dreieck PQT abgebildet (in der Skizze gelb gefärbt). Der Mittelpunkt U von SR wird dabei auf den Mittelpunkt V von PT abgebildet.

   Da die Drehung Streckenlängen nicht ändert, gilt QU = QV, das Dreieck QUV ist also gleichschenklig. Da ∠UQV=60° gilt, folgt mit dem Basiswinkelsatz und dem Winkelsummensatz, dass das Dreieck QUV gleichseitig ist.

3. Zwei Quadrate

   Vor. : F,G sind Fußpunkte der Lote von E bzw. H auf AB.

   Das Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C.

   CBHI und ACDE sind Quadrate.

   Beh. : FE + GH = AB

   Beweis :

   Da F und G Lotfußpunkte von E bzw. H auf der Geraden durch A und B sind, gilt ∠HGB=90° und ∠AFE=90°, die Dreiecke FAE und BGH sind daher rechtwinklig.

   Vierteldrehungen um A bzw. B:

   

   BGH wird um 90° gegen den UZS um B und

   Dreieck FAE wird um 90° im UZS um A gedreht.

   H wird bei dieser Drehung um 90° gegen den UZS um B gedreht und auf C abgebildet, da BHIC nach Voraussetzung ein Quadrat ist. E wird um 90° im UZS um A gedreht und so ebenfalls auf C abgebildet, da ACDE ein Quadrat ist.

   Wegen der rechten Winkel entsteht ein Rechteck, bei dem die sich gegen-überliegenden Seiten gleichlang sind, es gilt daher FE + GH = AB

4. 

   Halbierte Winkel

   Nach der Umkehrung des Satz des Thales liegt A auf dem Halbkreis über BC mit Mittelpunkt S, d.h. es gilt: SC=SA=SB. Daher ist das Dreieck ABS gleichschenklig, die Basiswinkel bei A und B sind gleich weit (α). Es wird gezeigt, dass auch ∠HAC=α gilt: Die beiden rechtwinkligen Dreiecke ABC und AHC haben den gemeinsamen Winkel β bei C. Nach dem Winkelsummensatz für Dreiecke stimmen sie auch im dritten Winkel α überein.

   Da w den Winkel ∠BAC=90° halbiert, folgt ε = 45°− α und damit ∠SAH = 2 · ε. Die Winkelhalbierende von ∠BAC halbiert also auch den Winkel ∠SAH.

Hinweise zur Umsetzung

Zur Visualisierung der Zusammenhänge können die Schritte in den zugehörigen GeoGebra-Applets nacheinander eingeblendet werden:

zu 1) 04_geo_ab_Nr1_halbierte_Winkel.ggb

zu 2) 04_geo_ab_Nr2_gedrehte_dreiecke.ggb

zu 3) 04_geo_ab_Nr3_gleichseitiges_dreieck.ggb

zu 4) 04_geo_ab_Nr4_zwei_quadrate.ggb

Es bieten sich dabei je nach Situation der Klasse verschiedene Alternativen an, die auf die jeweilige Lerngruppe abgestimmt werden müssen, z.B.:

Variante A (offen):

• in Kleingruppen eigenständige Erarbeitung von Aufgabe 1 mitApplet in Schülerhand

• Kurze Reflexionsphase, Verallgemeinerung, Vernetzung

• differenzierte Übungsphase mit Aufgabe 2, 3 (ggf. auch Nr. 4 alsKontrast)
  (mit / ohne Applets in Schülerhand, methodisch auch als Gruppenpuzzle denkbar).

Variante B („halboffen“):

• Gemeinsame Erarbeitung von Aufgabe 1), Reflexion, ggf.Visualisierung mit Applet

• differenzierte Übungsphase, siehe oben

Variante C (eng geführt):

• Gemeinsame Erarbeitung von Aufgabe 1 mit Sicherung, Applet zurReflexion

• eigenständige Anwendung / Übung des Prinzips mit Aufgabe 2(mit/ohne Applet)

• falls Zeit: Gemeinsame Vertiefung mit Nr 3 (Vertiefung)

Bei allen Varianten kann Aufgabe 4 zur Differenzierung / Wiederholung eingesetzt werden, da hier nochmals Winkelbetrachtungen in erweitertem Kontext gefragt sind.

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